기초 미적분 예제

$\sum_{i = 0}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$

단계 1

$i$ 의 시작값을 $1$ 에 맞추기 위해 합을 나눕니다.

$\sum_{k = 0}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i} = \sum_{k = 1}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i} + \sum_{k = 0}^{0} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$

단계 2

$\sum_{k = 1}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙이 성립되도록 합을 더 작은 크기의 부분합으로 나눕니다.

$\sum_{k = 1}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i} = \sum_{k = 1}^{8} 256 + \sum_{k = 1}^{8} {(\frac{3}{2})}^{i}$

단계 2.2

$\sum_{k = 1}^{8} 256$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

상수의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

단계 2.2.2

공식에 값을 대입합니다.

$(256) (8)$

단계 2.2.3

$256$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$2048$

단계 2.3

$\sum_{k = 1}^{8} {(\frac{3}{2})}^{i}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

공식 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ 을 사용하여 유한 기하급수의 합을 구할 수 있습니다. 여기서 $a$ 은 첫 번째 항이고 $r$ 는 연속 항 간의 비율입니다.

단계 2.3.2

공식 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ 에 대입하고 간단히 정리하여 연속 항의 비율을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$a_{k}$ , $a_{k + 1}$ 을 $r$ 공식에 대입합니다.

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i + 1}}{{(\frac{3}{2})}^{i}}$

단계 2.3.2.2

${(\frac{3}{2})}^{i + 1}$ 및 ${(\frac{3}{2})}^{i}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

${(\frac{3}{2})}^{i + 1}$ 에서 ${(\frac{3}{2})}^{i}$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{i}}$

단계 2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{i} \cdot 1}$

단계 2.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{i} \cdot 1}$

단계 2.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$r = \frac{\frac{3}{2}}{1}$

단계 2.3.2.2.2.4

$\frac{3}{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$r = \frac{3}{2}$

단계 2.3.3

하계에 대입하고 간단히 정리하여 급수의 첫 번째 항을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$i$ 의 $1$ 을 ${(\frac{3}{2})}^{i}$ 에 대입합니다.

$a = {(\frac{3}{2})}^{1}$

단계 2.3.3.2

간단히 합니다.

$a = \frac{3}{2}$

단계 2.3.4

비율, 첫 번째 항, 항의 수 값을 합 공식에 대입합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}}$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.1

$\frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} (\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}})$

단계 2.3.5.1.2

조합합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 (1 - {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 (1 - \frac{3}{2})}$

단계 2.3.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{3}{2})}$

단계 2.3.5.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.3.1

$- \frac{3}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 3}{2})}$

단계 2.3.5.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 3}{2})}$

단계 2.3.5.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 - 3}$

단계 2.3.5.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.4.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 - 3}$

단계 2.3.5.4.2

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 (- \frac{3^{8}}{2^{8}})}{2 \cdot 1 - 3}$

단계 2.3.5.4.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.4.3.1

$- \frac{3^{8}}{2^{8}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 \frac{- 3^{8}}{2^{8}}}{2 \cdot 1 - 3}$

단계 2.3.5.4.3.2

$2^{8}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 \frac{- 3^{8}}{2 \cdot 2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

단계 2.3.5.4.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 \frac{- 3^{8}}{2 \cdot 2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

단계 2.3.5.4.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 3^{8}}{2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

단계 2.3.5.4.4

$3$ 를 $8$ 승 합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 6561}{2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

단계 2.3.5.4.5

$2$ 를 $7$ 승 합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

단계 2.3.5.4.6

$- 1$ 에 $6561$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

단계 2.3.5.4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 - \frac{6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

단계 2.3.5.4.8

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{128}{128}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot \frac{128}{128} - \frac{6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

단계 2.3.5.4.9

$2$ 와 $\frac{128}{128}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 128}{128} - \frac{6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

단계 2.3.5.4.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 128 - 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

단계 2.3.5.4.11

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.4.11.1

$2$ 에 $128$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{256 - 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

단계 2.3.5.4.11.2

$256$ 에서 $6561$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{- 6305}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

단계 2.3.5.4.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \frac{6305}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

단계 2.3.5.5

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.5.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \frac{6305}{128}}{2 - 3}$

단계 2.3.5.5.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \frac{6305}{128}}{- 1}$

단계 2.3.5.6

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{6305}{128}}{1}$

단계 2.3.5.7

$\frac{6305}{128}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{6305}{128}$

단계 2.3.5.8

$\frac{3}{2} \cdot \frac{6305}{128}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.8.1

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{6305}{128}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 \cdot 6305}{2 \cdot 128}$

단계 2.3.5.8.2

$3$ 에 $6305$ 을 곱합니다.

$\frac{18915}{2 \cdot 128}$

단계 2.3.5.8.3

$2$ 에 $128$ 을 곱합니다.

$\frac{18915}{256}$

단계 2.4

합계 결과를 더합니다.

$2048 + \frac{18915}{256}$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2048$ 을 표현하기 위해 $\frac{256}{256}$ 을 곱합니다.

$2048 \cdot \frac{256}{256} + \frac{18915}{256}$

단계 2.5.2

$2048$ 와 $\frac{256}{256}$ 을 묶습니다.

$\frac{2048 \cdot 256}{256} + \frac{18915}{256}$

단계 2.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2048 \cdot 256 + 18915}{256}$

단계 2.5.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1

$2048$ 에 $256$ 을 곱합니다.

$\frac{524288 + 18915}{256}$

단계 2.5.4.2

$524288$ 를 $18915$ 에 더합니다.

$\frac{543203}{256}$

단계 3

$\sum_{k = 0}^{0} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 $i$ 값에 대하여 급수를 전개합니다.

$256 + {(\frac{3}{2})}^{0}$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$256 + \frac{3^{0}}{2^{0}}$

단계 3.2.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$256 + \frac{1}{2^{0}}$

단계 3.2.1.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$256 + \frac{1}{1}$

단계 3.2.1.4

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$256 + 1$

단계 3.2.2

$256$ 를 $1$ 에 더합니다.

$257$

단계 4

합을 구한 값으로 바꿉니다.

$\frac{543203}{256} + 257$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

공통 분모를 가지는 분수로 $257$ 을 표현하기 위해 $\frac{256}{256}$ 을 곱합니다.

$\frac{543203}{256} + 257 \cdot \frac{256}{256}$

단계 5.2

$257$ 와 $\frac{256}{256}$ 을 묶습니다.

$\frac{543203}{256} + \frac{257 \cdot 256}{256}$

단계 5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{543203 + 257 \cdot 256}{256}$

단계 5.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$257$ 에 $256$ 을 곱합니다.

$\frac{543203 + 65792}{256}$

단계 5.4.2

$543203$ 를 $65792$ 에 더합니다.

$\frac{608995}{256}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{608995}{256}$

소수 형태:

$2378.88671875$

대분수 형식:

$2378 \frac{227}{256}$