기초 미적분 예제

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} + 2 x + 1}{x^{3} - 8}$

단계 1

$x$ 가 $2$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

단계 2

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

단계 3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

단계 4

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

단계 5

$x$ 가 $2$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x + 1}{x^{3} - 8}$

단계 6

$x$ 가 있는 모든 곳에 $2$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 6.1

$x$ 에 $2$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{3 \cdot 2^{2} + 2 lim_{x \to 2} x + 1}{x^{3} - 8}$

단계 6.2

$x$ 에 $2$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{3 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1}{x^{3} - 8}$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{3 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 1}{x^{3} - 8}$

단계 7.1.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{12 + 2 \cdot 2 + 1}{x^{3} - 8}$

단계 7.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{12 + 4 + 1}{x^{3} - 8}$

단계 7.1.4

$12$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{16 + 1}{x^{3} - 8}$

단계 7.1.5

$16$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{17}{x^{3} - 8}$

단계 7.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{17}{x^{3} - 2^{3}}$

단계 7.2.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$\frac{17}{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}$

단계 7.2.3

간단히 합니다.

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단계 7.2.3.1

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{17}{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}$

단계 7.2.3.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{17}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$