기초 미적분 예제

$\sin (\arcsin (x) + \arccos (x))$

단계 1

사인의 합의 공식을 이용해 식을 간단히 정리합니다. 공식에 의하면 $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ 입니다.

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

단계 2

괄호를 제거합니다.

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

단계 3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1

함수 사인과 아크사인은 역함수입니다.

$x \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

단계 3.2

함수 코사인과 아크코사인은 역함수입니다.

$x \cdot x + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

단계 3.3

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{2} + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

단계 3.4

평면에 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arcsin (x)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\cos (\arcsin (x))$ 는 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 입니다.

$x^{2} + \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (x))$

단계 3.5

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} + \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (x))$

단계 3.6

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (x))$

단계 3.7

평면에 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arccos (x)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\sin (\arccos (x))$ 는 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 입니다.

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - x^{2}}$

단계 3.8

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

단계 3.9

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

단계 3.10

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 을 곱합니다.

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단계 3.10.1

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

단계 3.10.2

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}$

단계 3.10.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}$

단계 3.10.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

단계 3.11

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ 을 $(1 + x) (1 - x)$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 3.11.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 을(를) ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x^{2} + {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

단계 3.11.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

단계 3.11.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

단계 3.11.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.11.4.1

공약수로 약분합니다.

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

단계 3.11.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

단계 3.11.5

간단히 합니다.

$x^{2} + (1 + x) (1 - x)$

단계 3.12

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + x) (1 - x)$ 를 전개합니다.

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단계 3.12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} + 1 (1 - x) + x (1 - x)$

단계 3.12.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

단계 3.12.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

단계 3.13

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.13.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.13.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} + 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

단계 3.13.1.2

$- x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} + 1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

단계 3.13.1.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} + 1 - x + x + x (- x)$

단계 3.13.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x^{2} + 1 - x + x - x \cdot x$

단계 3.13.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.13.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x^{2} + 1 - x + x - (x \cdot x)$

단계 3.13.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{2} + 1 - x + x - x^{2}$

단계 3.13.2

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$x^{2} + 1 + 0 - x^{2}$

단계 3.13.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{2} + 1 - x^{2}$

단계 4

$x^{2} + 1 - x^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.1

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$0 + 1$

단계 4.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$