기초 미적분 예제

$\frac{2 (\tan (x) - \cot (x))}{\tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)} = \sin (2 x)$

단계 1

좌변에서부터 시작합니다.

$\frac{2 (\tan (x) - \cot (x))}{\tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)}$

단계 2

식을 간단히 합니다.

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단계 2.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.1.1

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cot (x))}{\tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)}$

단계 2.1.2

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)}$

단계 2.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \tan (x)$ 이고 $b = \cot (x)$ 입니다.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) - \cot (x))}$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

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단계 2.2.2.1

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x)) (\tan (x) - \cot (x))}$

단계 2.2.2.2

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\tan (x) - \cot (x))}$

단계 2.2.2.3

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cot (x))}$

단계 2.2.2.4

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

단계 2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

단계 2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 3.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

단계 3.1.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $\cos (x) \sin (x)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 3.1.3.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

단계 3.1.3.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 에 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}}$

$\frac{2}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

단계 3.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

단계 3.1.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.1.5.1

$\sin (x) \sin (x)$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.5.1.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

단계 3.1.5.1.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

단계 3.1.5.1.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

단계 3.1.5.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{2} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

단계 3.1.5.2

$\cos (x) \cos (x)$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.5.2.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

단계 3.1.5.2.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\cos (x) \sin (x)}}$

단계 3.1.5.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \sin (x)}}$

단계 3.1.5.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}}$

단계 3.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$2 \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$

단계 3.3

$2$ 와 $\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

단계 4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{1}$

단계 4.2

$2 \cos (x) \sin (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 \cos (x) \sin (x)$

단계 4.3

$2 \cos (x)$ 와 $\sin (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\sin (x) (2 \cos (x))$

단계 4.4

$\sin (x)$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

단계 4.5

사인 배각 공식을 적용합니다.

$\sin (2 x)$

단계 5

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{2 (\tan (x) - \cot (x))}{\tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)} = \sin (2 x)$ 은 항등식입니다