기초 미적분 예제

$\frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1} = 2 \sec (x) \cot^{2} (x)$

단계 1

좌변에서부터 시작합니다.

$\frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$

단계 2

분수를 더합니다.

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단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{\sec (x) - 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{\sec (x) + 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$

단계 2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.3.1

$\frac{1}{\sec (x) - 1}$ 에 $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)} + \frac{1}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$

단계 2.3.2

$\frac{1}{\sec (x) + 1}$ 에 $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)} + \frac{\sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

단계 2.3.3

$(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)} + \frac{\sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\sec (x) + 1 + \sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

단계 3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.1

$\sec (x)$ 를 $\sec (x)$ 에 더합니다.

$\frac{2 \sec (x) + 1 - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

단계 3.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{2 \sec (x) + 0}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

단계 3.3

$2 \sec (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 \sec (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

단계 4

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)$ 를 전개합니다.

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단계 4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) (\sec (x) - 1) + 1 (\sec (x) - 1)}$

단계 4.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1 + 1 (\sec (x) - 1)}$

단계 4.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1 + 1 \sec (x) + 1 \cdot - 1}$

단계 4.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec^{2} (x) - 1}$

단계 5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{2 \sec (x)}{\tan^{2} (x)}$

단계 6

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 6.1

삼각함수의 역수 관계를 $\sec (x)$ 에 적용합니다.

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{\tan^{2} (x)}$

단계 6.2

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

단계 6.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 7.2

$2$ 와 $\frac{1}{\cos (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 7.3

조합합니다.

$\frac{2 {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

단계 7.4

${\cos (x)}^{2}$ 및 $\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 8

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ 을 $2 \sec (x) \cot^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \sec (x) \cot^{2} (x)$

단계 9

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1} = 2 \sec (x) \cot^{2} (x)$ 은 항등식입니다