기초 미적분 예제

$\sin (x) + \cos (x) = \frac{\sin (x)}{1 - \cot (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)}$

단계 1

우변부터 시작합니다.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cot (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)}$

단계 2

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 2.1

삼각함수 항등식을 이용하여 $\cot (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)}$

단계 2.2

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.1.1.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

단계 3.1.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

단계 3.1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\sin (x) \frac{\sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

단계 3.1.3

$\sin (x) \frac{\sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.3.1

$\sin (x)$ 와 $\frac{\sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

단계 3.1.3.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

단계 3.1.3.3

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

단계 3.1.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

단계 3.1.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

단계 3.1.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.1.4.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

단계 3.1.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}$

단계 3.1.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$

단계 3.1.6

$\cos (x) \frac{\cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.6.1

$\cos (x)$ 와 $\frac{\cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$

단계 3.1.6.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$

단계 3.1.6.3

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\cos (x) - \sin (x)}$

단계 3.1.6.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) - \sin (x)}$

단계 3.1.6.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{\cos (x) - \sin (x)}$

단계 3.2

$\cos (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{- 1 (- \cos (x)) - \sin (x)}$

단계 3.3

$- \sin (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{- 1 (- \cos (x)) - (\sin (x))}$

단계 3.4

$- 1 (- \cos (x)) - (\sin (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{- 1 (- \cos (x) + \sin (x))}$

단계 3.5

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{- 1 (- \cos (x) + \sin (x))}$ 의 분모에서 음수를 분자로 옮깁니다.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{- {\cos (x)}^{2}}{- \cos (x) + \sin (x)}$

단계 3.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)}$

단계 3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)}$

단계 3.8

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \sin (x)$ 이고 $b = \cos (x)$ 입니다.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\sin (x) - \cos (x)}$

단계 3.9

$\sin (x) - \cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

$\sin (x) + \cos (x)$

단계 4

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\sin (x) + \cos (x) = \frac{\sin (x)}{1 - \cot (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)}$ 은 항등식입니다