기초 미적분 예제

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 1

좌변에서부터 시작합니다.

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$

단계 2

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$ 에 $\frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$

단계 3

조합합니다.

$\frac{\sec (x) (1 - \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

단계 4

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

단계 4.2

$\sec (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec (x) + \sec (x) (- \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

단계 4.3

$\sec (x) (- \sec (x))$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

단계 5

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))$ 를 전개합니다.

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단계 5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 (1 - \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

단계 5.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

단계 5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}$

단계 5.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 - \sec^{2} (x)}$

단계 6

피타고라스의 정리를 적용합니다.

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단계 6.1

$1$ 와 $- \sec^{2} (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \sec^{2} (x) + 1}$

단계 6.2

$- \sec^{2} (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- (\sec^{2} (x)) + 1}$

단계 6.3

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

단계 6.4

$- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- (\sec^{2} (x) - 1)}$

단계 6.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \tan^{2} (x)}$

단계 7

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 7.1

삼각함수의 역수 관계를 $\sec (x)$ 에 적용합니다.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \sec^{2} (x)}{- \tan^{2} (x)}$

단계 7.2

삼각함수의 역수 관계를 $\sec (x)$ 에 적용합니다.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{- \tan^{2} (x)}$

단계 7.3

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

단계 7.4

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

단계 7.5

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

단계 8.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

단계 8.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{\cos (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

단계 8.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 ${\cos (x)}^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 8.4.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$(\frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

단계 8.4.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

단계 8.4.3

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

단계 8.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

단계 8.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

단계 8.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

단계 8.6

${\cos (x)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.6.1

$- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 8.6.2

$- {\cos (x)}^{2}$ 에서 ${\cos (x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 8.6.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 8.6.4

수식을 다시 씁니다.

$(\cos (x) - 1) \frac{- 1}{{\sin (x)}^{2}}$

단계 8.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$(\cos (x) - 1) (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

단계 8.8

분배 법칙을 적용합니다.

$\cos (x) (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}) - 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

단계 8.9

$\cos (x)$ 와 $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

단계 8.10

$- 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$ 을 곱합니다.

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

단계 9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- \cos (x) + 1}{\sin^{2} (x)}$

단계 10

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

단계 11

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ 은 항등식입니다