기초 미적분 예제

f (x) = 4 x^{2} + 20 x - 24

$f (x) = 4 x^{2} + 20 x - 24$

단계 1

주어진 포물선의 성질을 알아봅니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식을 꼭짓점 형태로 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$4 x^{2} + 20 x - 24$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해

$a$ ,

$b$ ,

$c$ 값을 구합니다.

$a = 4$

$b = 20$

$c = - 24$

단계 1.1.1.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.1.1.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여

$d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.1

$a$ 과

$b$ 값을 공식

$d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{20}{2 \cdot 4}$

단계 1.1.1.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1

$20$ 및

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1.1

$20$ 에서

$2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 4}$

단계 1.1.1.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1.2.1

$2 \cdot 4$ 에서

$2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 (4)}$

단계 1.1.1.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 4}$

단계 1.1.1.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{10}{4}$

단계 1.1.1.3.2.2

$10$ 및

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.2.1

$10$ 에서

$2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 (5)}{4}$

단계 1.1.1.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.2.2.1

$4$ 에서

$2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

단계 1.1.1.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

단계 1.1.1.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{5}{2}$

단계 1.1.1.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여

$e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.4.1

$c$ ,

$b$ ,

$a$ 값을 공식

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = - 24 - \frac{20^{2}}{4 \cdot 4}$

단계 1.1.1.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.4.2.1.1

$20$ 를

$2$ 승 합니다.

$e = - 24 - \frac{400}{4 \cdot 4}$

단계 1.1.1.4.2.1.2

$4$ 에

$4$ 을 곱합니다.

$e = - 24 - \frac{400}{16}$

단계 1.1.1.4.2.1.3

$400$ 을

$16$ 로 나눕니다.

$e = - 24 - 1 \cdot 25$

단계 1.1.1.4.2.1.4

$- 1$ 에

$25$ 을 곱합니다.

$e = - 24 - 25$

단계 1.1.1.4.2.2

$- 24$ 에서

$25$ 을 뺍니다.

$e = - 49$

단계 1.1.1.5

$a$ ,

$d$ ,

$e$ 값을 꼭짓점 형태

$4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - 49$ 에 대입합니다.

$4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - 49$

단계 1.1.2

$y$ 를 오른쪽 항과 같다고 놓습니다.

$y = 4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - 49$

단계 1.2

표준형인

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 를 사용하여

$a$ ,

$h$ ,

$k$ 의 값을 구합니다

$a = 4$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = - 49$

단계 1.3

$a$ 값이 양수이므로 이 포물선은 위로 열린 형태입니다.

위로 열림

단계 1.4

꼭짓점

$(h, k)$ 를 구합니다.

$(- \frac{5}{2}, - 49)$

단계 1.5

꼭짓점으로부터 초점까지의 거리인

$p$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

다음의 공식을 이용하여 꼭짓점으로부터 포물선의 초점까지의 거리를 구합니다.

$\frac{1}{4 a}$

단계 1.5.2

$a$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

단계 1.5.3

$4$ 에

$4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{16}$

단계 1.6

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

포물선이 위 또는 아래로 열린 경우, 포물선의 초점은 y좌표

$k$ 에

$p$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + p)$

단계 1.6.2

알고 있는 값인

$h$ ,

$p$ ,

$k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

단계 1.7

꼭짓점과 초점을 지나는 직선을 구하여 대칭축을 구합니다.

$x = - \frac{5}{2}$

단계 1.8

준선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

포물선이 위 또는 아래로 열린 경우 포물선의 준선은 꼭짓점의 y좌표

$k$ 에서

$p$ 를 뺀 값의 수평선입니다.

$y = k - p$

단계 1.8.2

알고 있는 값인

$p$ 와

$k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$y = - \frac{785}{16}$

단계 1.9

포물선의 성질을 이용해 포물선을 분석하고 그래프를 그립니다.

방향: 위로 열림

꼭짓점:

$(- \frac{5}{2}, - 49)$

초점:

$(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

대칭축:

$x = - \frac{5}{2}$

준선:

$y = - \frac{785}{16}$

방향: 위로 열림

꼭짓점:

$(- \frac{5}{2}, - 49)$

초점:

$(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

대칭축:

$x = - \frac{5}{2}$

준선:

$y = - \frac{785}{16}$

단계 2

여러

$x$ 값을 선택하고 식에 대입하여 해당하는

$y$ 값을 구합니다. 꼭짓점 주위의

$x$ 값을 선택해야 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

수식에서 변수

$x$ 에

$- 3$ 을 대입합니다.

$f (- 3) = 4 {(- 3)}^{2} + 20 (- 3) - 24$

단계 2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$- 3$ 를

$2$ 승 합니다.

$f (- 3) = 4 \cdot 9 + 20 (- 3) - 24$

단계 2.2.1.2

$4$ 에

$9$ 을 곱합니다.

$f (- 3) = 36 + 20 (- 3) - 24$

단계 2.2.1.3

$20$ 에

$- 3$ 을 곱합니다.

$f (- 3) = 36 - 60 - 24$

단계 2.2.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$36$ 에서

$60$ 을 뺍니다.

$f (- 3) = - 24 - 24$

단계 2.2.2.2

$- 24$ 에서

$24$ 을 뺍니다.

$f (- 3) = - 48$

단계 2.2.3

최종 답은

$- 48$ 입니다.

$- 48$

단계 2.3

$x = - 3$ 일 때

$y$ 의 값은

$- 48$ 입니다.

$y = - 48$

단계 2.4

수식에서 변수

$x$ 에

$- 4$ 을 대입합니다.

$f (- 4) = 4 {(- 4)}^{2} + 20 (- 4) - 24$

단계 2.5

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

$- 4$ 를

$2$ 승 합니다.

$f (- 4) = 4 \cdot 16 + 20 (- 4) - 24$

단계 2.5.1.2

$4$ 에

$16$ 을 곱합니다.

$f (- 4) = 64 + 20 (- 4) - 24$

단계 2.5.1.3

$20$ 에

$- 4$ 을 곱합니다.

$f (- 4) = 64 - 80 - 24$

단계 2.5.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$64$ 에서

$80$ 을 뺍니다.

$f (- 4) = - 16 - 24$

단계 2.5.2.2

$- 16$ 에서

$24$ 을 뺍니다.

$f (- 4) = - 40$

단계 2.5.3

최종 답은

$- 40$ 입니다.

$- 40$

단계 2.6

$x = - 4$ 일 때

$y$ 의 값은

$- 40$ 입니다.

$y = - 40$

단계 2.7

수식에서 변수

$x$ 에

$- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = 4 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) - 24$

단계 2.8

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1.1

$- 1$ 를

$2$ 승 합니다.

$f (- 1) = 4 \cdot 1 + 20 (- 1) - 24$

단계 2.8.1.2

$4$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = 4 + 20 (- 1) - 24$

단계 2.8.1.3

$20$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = 4 - 20 - 24$

단계 2.8.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.2.1

$4$ 에서

$20$ 을 뺍니다.

$f (- 1) = - 16 - 24$

단계 2.8.2.2

$- 16$ 에서

$24$ 을 뺍니다.

$f (- 1) = - 40$

단계 2.8.3

최종 답은

$- 40$ 입니다.

$- 40$

단계 2.9

$x = - 1$ 일 때

$y$ 의 값은

$- 40$ 입니다.

$y = - 40$

단계 2.10

수식에서 변수

$x$ 에

$0$ 을 대입합니다.

$f (0) = 4 {(0)}^{2} + 20 (0) - 24$

단계 2.11

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도

$0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 4 \cdot 0 + 20 (0) - 24$

단계 2.11.1.2

$4$ 에

$0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 20 (0) - 24$

단계 2.11.1.3

$20$ 에

$0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0 - 24$

단계 2.11.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.2.1

$0$ 를

$0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0 - 24$

단계 2.11.2.2

$0$ 에서

$24$ 을 뺍니다.

$f (0) = - 24$

단계 2.11.3

최종 답은

$- 24$ 입니다.

$- 24$

단계 2.12

$x = 0$ 일 때

$y$ 의 값은

$- 24$ 입니다.

$y = - 24$

단계 2.13

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 40 \\ - 3 & - 48 \\ - \frac{5}{2} & - 49 \\ - 1 & - 40 \\ 0 & - 24 \end{array}$

단계 3

포물선의 성질과 선택한 점을 이용하여 포물선의 그래프를 그립니다.

방향: 위로 열림

꼭짓점:

$(- \frac{5}{2}, - 49)$

초점:

$(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

대칭축:

$x = - \frac{5}{2}$

준선:

$y = - \frac{785}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 40 \\ - 3 & - 48 \\ - \frac{5}{2} & - 49 \\ - 1 & - 40 \\ 0 & - 24 \end{array}$

단계 4