기초 미적분 예제

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} - \frac{b i}{a^{2} - b^{2}})$

단계 1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = a$ 이고 $b = b$ 입니다.

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)})$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{a}{a^{2} + b^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)}$ 을 곱합니다.

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} \cdot \frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)})$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{b i}{(a + b) (a - b)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ 을 곱합니다.

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} \cdot \frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}})$

단계 4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(a^{2} + b^{2}) (a + b) (a - b)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1

$\frac{a}{a^{2} + b^{2}}$ 에 $\frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)}$ 을 곱합니다.

$(a + b i) (\frac{a ((a + b) (a - b))}{(a^{2} + b^{2}) ((a + b) (a - b))} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}})$

단계 4.2

$\frac{b i}{(a + b) (a - b)}$ 에 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ 을 곱합니다.

$(a + b i) (\frac{a ((a + b) (a - b))}{(a^{2} + b^{2}) ((a + b) (a - b))} - \frac{b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})})$

단계 4.3

$(a^{2} + b^{2}) ((a + b) (a - b))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(a + b i) (\frac{a ((a + b) (a - b))}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})} - \frac{b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})})$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$(a + b i) \frac{a ((a + b) (a - b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(a + b) (a - b)$ 를 전개합니다.

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단계 6.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(a + b i) \frac{a (a (a - b) + b (a - b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

단계 6.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + a (- b) + b (a - b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

단계 6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

단계 6.2

$a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 6.2.1

인수가 항 $a (- b)$ 과(와) $b a$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a - a b + a b + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

단계 6.2.2

$- a b$ 를 $a b$ 에 더합니다.

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + 0 + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

단계 6.2.3

$a \cdot a$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

단계 6.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$a$ 에 $a$ 을 곱합니다.

$(a + b i) \frac{a (a^{2} + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

단계 6.3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(a + b i) \frac{a (a^{2} - b \cdot b) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

단계 6.3.3

지수를 더하여 $b$ 에 $b$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.3.1

$b$ 를 옮깁니다.

$(a + b i) \frac{a (a^{2} - (b \cdot b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

단계 6.3.3.2

$b$ 에 $b$ 을 곱합니다.

$(a + b i) \frac{a (a^{2} - b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

단계 6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$(a + b i) \frac{a \cdot a^{2} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

단계 6.5

지수를 더하여 $a$ 에 $a^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.5.1

$a$ 에 $a^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.5.1.1

$a$ 를 $1$ 승 합니다.

$(a + b i) \frac{a^{1} a^{2} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

단계 6.5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(a + b i) \frac{a^{1 + 2} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

단계 6.5.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$(a + b i) \frac{a^{3} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

단계 6.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

단계 6.7

분배 법칙을 적용합니다.

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b i b^{2}}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

단계 6.8

지수를 더하여 $b$ 에 $b^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.8.1

$b^{2}$ 를 옮깁니다.

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - (b^{2} b) i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

단계 6.8.2

$b^{2}$ 에 $b$ 을 곱합니다.

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단계 6.8.2.1

$b$ 를 $1$ 승 합니다.

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - (b^{2} b^{1}) i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

단계 6.8.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{2 + 1} i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

단계 6.8.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{3} i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

단계 7

$a + b i$ 에 $\frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{3} i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$ 을 곱합니다.

$\frac{(a + b i) (a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{3} i)}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$