기초 미적분 예제

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)} > 0$

단계 1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x = 0$

$2 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

단계 2

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3

이차함수의 근의 공식에 $a = 2$ , $b = 2$ , $c = 1$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

단계 4.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 1$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.2.1

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

단계 4.1.2.2

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 2}$

단계 4.1.3

$4$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 2}$

단계 4.1.4

$- 4$ 을 $- 1 (4)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

단계 4.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

단계 4.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

단계 4.1.7

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

단계 4.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 2}$

단계 4.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}$

단계 4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{4}$

단계 4.3

$\frac{- 2 \pm 2 i}{4}$ 을 간단히 합니다.

$x = \frac{- 1 \pm i}{2}$

단계 5

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

단계 6

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 7

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 0$

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

$x = - 1$

단계 8

해를 하나로 합합니다.

$x = 0, - 1$

단계 9

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 9.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x (x + 1) = 0$

단계 9.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 1 = 0$

단계 9.2.2

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 9.2.3

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 9.2.3.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 9.2.3.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 9.2.4

$x (x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 1$

단계 9.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

단계 10

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

단계 11

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 11.1

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.1.1

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 11.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

$\frac{2 {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) + 1}{(- 4) ((- 4) + 1)} > 0$

단계 11.1.3

좌변 $2.08\overline{3}$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 11.2

$- 1 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$- 1 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 0.5$

단계 11.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 0.5$ 로 치환합니다.

$\frac{2 {(- 0.5)}^{2} + 2 (- 0.5) + 1}{(- 0.5) ((- 0.5) + 1)} > 0$

단계 11.2.3

좌변 $- 2$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 11.3

$x > 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.3.1

$x > 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 11.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$\frac{2 {(2)}^{2} + 2 (2) + 1}{(2) ((2) + 1)} > 0$

단계 11.3.3

좌변 $2.1\overline{6}$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 11.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 1$ 참

$- 1 < x < 0$ 거짓

$x > 0$ 참

$x < - 1$ 참

$- 1 < x < 0$ 거짓

$x > 0$ 참

단계 12

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 1$ 또는 $x > 0$

단계 13

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$x < - 1 or x > 0$

구간 표기:

$(- \infty, - 1) \cup (0, \infty)$

단계 14