기초 미적분 예제

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} < \frac{13}{4 - x^{2}}$

단계 1

부등식의 양변에서 $\frac{13}{4 - x^{2}}$ 를 뺍니다.

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{4 - x^{2}} < 0$

단계 2

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{4 - x^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{2^{2} - x^{2}} < 0$

단계 2.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 2$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2}{x + 2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 - x}{2 - x}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

단계 2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x}{2 - x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} + \frac{x}{2 - x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

단계 2.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x + 2) (2 - x)$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$\frac{2}{x + 2}$ 에 $\frac{2 - x}{2 - x}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (2 - x)}{(x + 2) (2 - x)} + \frac{x}{2 - x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

단계 2.4.2

$\frac{x}{2 - x}$ 에 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (2 - x)}{(x + 2) (2 - x)} + \frac{x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

단계 2.4.3

$(x + 2) (2 - x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{2 (2 - x)}{(2 - x) (x + 2)} + \frac{x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

단계 2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 (2 - x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

단계 2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

단계 2.6.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 + 2 (- x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

단계 2.6.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 - 2 x + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

단계 2.6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 - 2 x + x \cdot x + x \cdot 2}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

단계 2.6.5

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{4 - 2 x + x^{2} + x \cdot 2}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

단계 2.6.6

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{4 - 2 x + x^{2} + 2 \cdot x}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

단계 2.6.7

$- 2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{4 + x^{2} + 0}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

단계 2.6.8

$4 + x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

단계 2.7

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(x + 2) (2 - x)} < 0$

단계 2.8

$(x + 2) (2 - x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

단계 2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 + x^{2} - 13}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

단계 2.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.10.1

$4$ 에서 $13$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 9}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

단계 2.10.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

단계 2.10.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$2 - x = 0$

$x + 2 = 0$

단계 4

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 5

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 6

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$- x = - 2$

단계 7

$- x = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- x = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 7.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 2}{- 1}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

$- 2$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 2$

단계 8

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 9

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = - 3$

$x = 3$

$x = 2$

$x = - 2$

단계 10

해를 하나로 합합니다.

$x = - 3, 3, 2, - 2$

단계 11

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 11.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$(2 - x) (x + 2) = 0$

단계 11.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 11.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 - x = 0$

$x + 2 = 0$

단계 11.2.2

$2 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 11.2.2.1

$2 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 - x = 0$

단계 11.2.2.2

$2 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$- x = - 2$

단계 11.2.2.2.2

$- x = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.2.2.1

$- x = - 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 11.2.2.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

단계 11.2.2.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 2}{- 1}$

단계 11.2.2.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.2.2.3.1

$- 2$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 2$

단계 11.2.3

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 11.2.3.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 11.2.4

$(2 - x) (x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 2, - 2$

단계 11.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

단계 12

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

단계 13

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 13.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 13.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$\frac{2}{(- 6) + 2} + \frac{- 6}{2 - (- 6)} < \frac{13}{4 - {(- 6)}^{2}}$

단계 13.1.3

좌변 $- 1.25$ 이 우변 $- 0.40625$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 13.2

$- 3 < x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$- 3 < x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2.5$

단계 13.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2.5$ 로 치환합니다.

$\frac{2}{(- 2.5) + 2} + \frac{- 2.5}{2 - (- 2.5)} < \frac{13}{4 - {(- 2.5)}^{2}}$

단계 13.2.3

좌변 $- 4.\overline{5}$ 이 우변 $- 5.\overline{7}$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 13.3

$- 2 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.1

$- 2 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 13.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{2}{(0) + 2} + \frac{0}{2 - (0)} < \frac{13}{4 - {(0)}^{2}}$

단계 13.3.3

좌변 $1$ 이 우변 $3.25$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 13.4

$2 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.1

$2 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2.5$

단계 13.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2.5$ 로 치환합니다.

$\frac{2}{(2.5) + 2} + \frac{2.5}{2 - (2.5)} < \frac{13}{4 - {(2.5)}^{2}}$

단계 13.4.3

좌변 $- 4.\overline{5}$ 이 우변 $- 5.\overline{7}$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 13.5

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.1

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 13.5.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$\frac{2}{(6) + 2} + \frac{6}{2 - (6)} < \frac{13}{4 - {(6)}^{2}}$

단계 13.5.3

좌변 $- 1.25$ 이 우변 $- 0.40625$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 13.6

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 3$ 참

$- 3 < x < - 2$ 거짓

$- 2 < x < 2$ 참

$2 < x < 3$ 거짓

$x > 3$ 참

$x < - 3$ 참

$- 3 < x < - 2$ 거짓

$- 2 < x < 2$ 참

$2 < x < 3$ 거짓

$x > 3$ 참

단계 14

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 3$ 또는 $- 2 < x < 2$ 또는 $x > 3$

단계 15

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$x < - 3 or - 2 < x < 2 or x > 3$

구간 표기:

$(- \infty, - 3) \cup (- 2, 2) \cup (3, \infty)$

단계 16