기초 미적분 예제

$\sqrt{\frac{x^{2} - 11 x + 28}{x^{2} - 1}}$

단계 1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{\frac{x^{2} - 11 x + 28}{x^{2} - 1}}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$\frac{x^{2} - 11 x + 28}{x^{2} - 1} \geq 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x^{2} - 11 x + 28 = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

단계 2.2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 11 x + 28$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $28$ 이고 합은 $- 11$ 입니다.

$- 7, - 4$

단계 2.2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 7) (x - 4) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 7 = 0$

$x - 4 = 0$

단계 2.4

$x - 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$x - 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 7 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$x = 7$

단계 2.5

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 2.6

$(x - 7) (x - 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 7, 4$

단계 2.7

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x^{2} = 1$

단계 2.8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 2.9

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 2.10

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.10.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 2.10.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 2.10.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 2.11

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 7, 4$

$x = 1, - 1$

단계 2.12

해를 하나로 합합니다.

$x = 7, 4, 1, - 1$

단계 2.13

$\frac{x^{2} - 11 x + 28}{x^{2} - 1}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 2.13.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{2} - 11 x + 28}{x^{2} - 1}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} - 1 = 0$

단계 2.13.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x^{2} = 1$

단계 2.13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 2.13.2.3

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 2.13.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.13.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 2.13.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 2.13.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 2.13.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

단계 2.14

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 4$

$4 < x < 7$

$x > 7$

단계 2.15

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 2.15.1

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 2.15.1.1

$x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 2.15.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 11 \cdot - 4 + 28}{{(- 4)}^{2} - 1} \geq 0$

단계 2.15.1.3

좌변 $5.8\overline{6}$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 2.15.2

$- 1 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 2.15.2.1

$- 1 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 2.15.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{{(0)}^{2} - 11 \cdot 0 + 28}{{(0)}^{2} - 1} \geq 0$

단계 2.15.2.3

좌변 $- 28$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 2.15.3

$1 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 2.15.3.1

$1 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 2.15.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$\frac{{(2)}^{2} - 11 \cdot 2 + 28}{{(2)}^{2} - 1} \geq 0$

단계 2.15.3.3

좌변 $3.\overline{3}$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 2.15.4

$4 < x < 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 2.15.4.1

$4 < x < 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 2.15.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$\frac{{(6)}^{2} - 11 \cdot 6 + 28}{{(6)}^{2} - 1} \geq 0$

단계 2.15.4.3

좌변 $- 0.0\overline{571428}$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 2.15.5

$x > 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 2.15.5.1

$x > 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 10$

단계 2.15.5.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $10$ 로 치환합니다.

$\frac{{(10)}^{2} - 11 \cdot 10 + 28}{{(10)}^{2} - 1} \geq 0$

단계 2.15.5.3

좌변 $0.\overline{18}$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 2.15.6

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 1$ 참

$- 1 < x < 1$ 거짓

$1 < x < 4$ 참

$4 < x < 7$ 거짓

$x > 7$ 참

$x < - 1$ 참

$- 1 < x < 1$ 거짓

$1 < x < 4$ 참

$4 < x < 7$ 거짓

$x > 7$ 참

단계 2.16

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 1$ 또는 $1 < x \leq 4$ 또는 $x \geq 7$

단계 3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{2} - 11 x + 28}{x^{2} - 1}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} - 1 = 0$

단계 4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x^{2} = 1$

단계 4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 4.3

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 4.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 4.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 4.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 5

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 1) \cup (1, 4] \cup [7, \infty)$

조건제시법:

${x | x < - 1, 1 < x \leq 4, x \geq 7}$

단계 6