기초 미적분 예제

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + x + 5}{x^{2} + 3 x + 2}$

단계 1

긴 다항식 나눗셈을 이용하여 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

단계 1.2

피제수 $2 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

단계 1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

단계 1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

단계 1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

단계 1.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

$5$

단계 1.7

피제수 $- 7 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

						$2 x$	-	$7$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$5$
					-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	+	$5$

단계 1.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

						$2 x$	-	$7$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$5$
					-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	+	$5$
							-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$14$

단계 1.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 7 x^{2} - 21 x - 14$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$2 x$

$7$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

$5$

$7 x^{2}$

$21 x$

$14$

단계 1.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$2 x$

$7$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

$5$

$7 x^{2}$

$21 x$

$14$

$18 x$

$19$

단계 1.11

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$2 x - 7 + \frac{18 x + 19}{x^{2} + 3 x + 2}$

단계 2

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 3 x + 2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $2$ 이고 합은 $3$ 입니다.

$1, 2$

단계 2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{18 x + 19}{(x + 1) (x + 2)}$

단계 2.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x + 1}$

단계 2.3

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$

단계 2.4

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $(x + 1) (x + 2)$ 입니다.

$\frac{(18 x + 19) (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

단계 2.5

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(18 x + 19) (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

단계 2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(18 x + 19) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

단계 2.6

$x + 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(18 x + 19) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

단계 2.6.2

$18 x + 19$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$18 x + 19 = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

단계 2.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1.1

공약수로 약분합니다.

$18 x + 19 = \frac{A (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

단계 2.7.1.2

$(A) (x + 2)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$18 x + 19 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

단계 2.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$18 x + 19 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

단계 2.7.3

$A$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$18 x + 19 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

단계 2.7.4

$x + 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$18 x + 19 = A x + 2 A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

단계 2.7.4.2

$(B) (x + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$18 x + 19 = A x + 2 A + (B) (x + 1)$

단계 2.7.5

분배 법칙을 적용합니다.

$18 x + 19 = A x + 2 A + B x + B \cdot 1$

단계 2.7.6

$B$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$18 x + 19 = A x + 2 A + B x + B$

단계 2.8

$2 A$ 를 옮깁니다.

$18 x + 19 = A x + B x + 2 A + B$

단계 3

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$18 = A + B$

단계 3.2

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$19 = 2 A + B$

단계 3.3

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$18 = A + B$

$19 = 2 A + B$

$18 = A + B$

$19 = 2 A + B$

단계 4

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$18 = A + B$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$A + B = 18$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A + B = 18$

$19 = 2 A + B$

단계 4.1.2

방정식의 양변에서 $B$ 를 뺍니다.

$A = 18 - B$

$19 = 2 A + B$

$A = 18 - B$

$19 = 2 A + B$

단계 4.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $18 - B$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$19 = 2 A + B$ 의 $A$ 를 모두 $18 - B$ 로 바꿉니다.

$19 = 2 (18 - B) + B$

$A = 18 - B$

단계 4.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$2 (18 - B) + B$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$19 = 2 \cdot 18 + 2 (- B) + B$

$A = 18 - B$

단계 4.2.2.1.1.2

$2$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$19 = 36 + 2 (- B) + B$

$A = 18 - B$

단계 4.2.2.1.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$19 = 36 - 2 B + B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - 2 B + B$

$A = 18 - B$

단계 4.2.2.1.2

$- 2 B$ 를 $B$ 에 더합니다.

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

단계 4.3

$19 = 36 - B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$36 - B = 19$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$36 - B = 19$

$A = 18 - B$

단계 4.3.2

$B$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

방정식의 양변에서 $36$ 를 뺍니다.

$- B = 19 - 36$

$A = 18 - B$

단계 4.3.2.2

$19$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$- B = - 17$

$A = 18 - B$

$- B = - 17$

$A = 18 - B$

단계 4.3.3

$- B = - 17$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$- B = - 17$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

단계 4.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{B}{1} = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

단계 4.3.3.2.2

$B$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$B = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

$B = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

단계 4.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.3.1

$- 17$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$B = 17$

$A = 18 - B$

$B = 17$

$A = 18 - B$

$B = 17$

$A = 18 - B$

$B = 17$

$A = 18 - B$

단계 4.4

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $17$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$A = 18 - B$ 의 $B$ 를 모두 $17$ 로 바꿉니다.

$A = 18 - (17)$

$B = 17$

단계 4.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

$18 - (17)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1.1

$- 1$ 에 $17$ 을 곱합니다.

$A = 18 - 17$

$B = 17$

단계 4.4.2.1.2

$18$ 에서 $17$ 을 뺍니다.

$A = 1$

$B = 17$

$A = 1$

$B = 17$

$A = 1$

$B = 17$

$A = 1$

$B = 17$

단계 4.5

모든 해를 나열합니다.

$A = 1, B = 17$

단계 5

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $2 x - 7 + \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$2 x - 7 + \frac{1}{x + 1} + \frac{17}{x + 2}$