기초 미적분 예제

$\log (8 - x) > 2 \log (x + 4)$

단계 1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$\log (8 - x) = 2 \log (x + 4)$

단계 2

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \log (x + 4)$ 을 간단히 합니다.

$\log (8 - x) = \log ({(x + 4)}^{2})$

단계 2.2

방정식의 등호가 성립하려면 방정식의 두 변에 있는 로그의 진수가 동일해야 합니다.

$8 - x = {(x + 4)}^{2}$

단계 2.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

${(x + 4)}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$8 - x = 0 + 0 + {(x + 4)}^{2}$

단계 2.3.1.2

${(x + 4)}^{2}$ 을 $(x + 4) (x + 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$8 - x = (x + 4) (x + 4)$

단계 2.3.1.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 4) (x + 4)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$8 - x = x (x + 4) + 4 (x + 4)$

단계 2.3.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$8 - x = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)$

단계 2.3.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$8 - x = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

단계 2.3.1.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.4.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$8 - x = x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

단계 2.3.1.4.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$8 - x = x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4$

단계 2.3.1.4.1.3

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 - x = x^{2} + 4 x + 4 x + 16$

단계 2.3.1.4.2

$4 x$ 를 $4 x$ 에 더합니다.

$8 - x = x^{2} + 8 x + 16$

단계 2.3.2

$x$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$x^{2} + 8 x + 16 = 8 - x$

단계 2.3.3

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

방정식의 양변에 $x$ 를 더합니다.

$x^{2} + 8 x + 16 + x = 8$

단계 2.3.3.2

$8 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$x^{2} + 9 x + 16 = 8$

단계 2.3.4

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$x^{2} + 9 x + 16 - 8 = 0$

단계 2.3.5

$16$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$x^{2} + 9 x + 8 = 0$

단계 2.3.6

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 9 x + 8$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $8$ 이고 합은 $9$ 입니다.

$1, 8$

단계 2.3.6.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x + 1) (x + 8) = 0$

단계 2.3.7

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 1 = 0$

$x + 8 = 0$

단계 2.3.8

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 2.3.8.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 2.3.9

$x + 8$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.9.1

$x + 8$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 8 = 0$

단계 2.3.9.2

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$x = - 8$

단계 2.3.10

$(x + 1) (x + 8) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 1, - 8$

단계 3

$\log (\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}})$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\log (\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}})$ 의 진수를 $0$ 보다 크게 설정해야 합니다.

$\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}} > 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$8 - x = 0$

${(x + 4)}^{2} = 0$

단계 3.2.2

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$- x = - 8$

단계 3.2.3

$- x = - 8$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

$- x = - 8$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

단계 3.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

단계 3.2.3.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 8}{- 1}$

단계 3.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.3.1

$- 8$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 8$

단계 3.2.4

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 3.2.5

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 3.2.6

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 8$

$x = - 4$

단계 3.2.7

해를 하나로 합합니다.

$x = 8, - 4$

단계 3.2.8

$\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x + 4)}^{2} = 0$

단계 3.2.8.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.2.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 3.2.8.2.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 3.2.8.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

단계 3.2.9

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 4$

$- 4 < x < 8$

$x > 8$

단계 3.2.10

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.10.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.10.1.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 3.2.10.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$\frac{8 - (- 6)}{{((- 6) + 4)}^{2}} > 0$

단계 3.2.10.1.3

좌변 $3.5$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 3.2.10.2

$- 4 < x < 8$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.10.2.1

$- 4 < x < 8$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 3.2.10.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{8 - (0)}{{((0) + 4)}^{2}} > 0$

단계 3.2.10.2.3

좌변 $0.5$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 3.2.10.3

$x > 8$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.10.3.1

$x > 8$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 10$

단계 3.2.10.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $10$ 로 치환합니다.

$\frac{8 - (10)}{{((10) + 4)}^{2}} > 0$

단계 3.2.10.3.3

좌변 $- 0.01020408$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 3.2.10.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 4$ 참

$- 4 < x < 8$ 참

$x > 8$ 거짓

$x < - 4$ 참

$- 4 < x < 8$ 참

$x > 8$ 거짓

단계 3.2.11

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 4$ 또는 $- 4 < x < 8$

단계 3.3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x + 4)}^{2} = 0$

단계 3.4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 3.4.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 3.5

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 8)$

단계 4

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$- 1 < x < 8$

$x > 8$

단계 5

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x < - 8$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$x < - 8$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 10$

단계 5.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 10$ 로 치환합니다.

$\log (8 - (- 10)) > 2 \log ((- 10) + 4)$

단계 5.1.3

부등식이 참인지 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

방정식이 정의되지 않으므로 풀 수 없습니다.

$정의되지 않음$

단계 5.1.3.2

The right side has no solution, which means that the given statement is false.

False

단계 5.2

$- 8 < x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$- 8 < x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 5.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$\log (8 - (- 6)) > 2 \log ((- 6) + 4)$

단계 5.2.3

부등식이 참인지 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

방정식이 정의되지 않으므로 풀 수 없습니다.

$정의되지 않음$

단계 5.2.3.2

The right side has no solution, which means that the given statement is false.

False

단계 5.3

$- 4 < x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- 4 < x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 5.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

$\log (8 - (- 2)) > 2 \log ((- 2) + 4)$

단계 5.3.3

좌변 $1$ 가 우변 $0.60205999$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 5.4

$- 1 < x < 8$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$- 1 < x < 8$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 5.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\log (8 - (0)) > 2 \log ((0) + 4)$

단계 5.4.3

좌변 $0.90308998$ 이 우변 $1.20411998$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 5.5

$x > 8$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$x > 8$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 10$

단계 5.5.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $10$ 로 치환합니다.

$\log (8 - (10)) > 2 \log ((10) + 4)$

단계 5.5.3

부등식이 참인지 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.1

방정식이 정의되지 않으므로 풀 수 없습니다.

$정의되지 않음$

단계 5.5.3.2

좌변의 해가 없으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 5.6

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 8$ 거짓

$- 8 < x < - 4$ 거짓

$- 4 < x < - 1$ 참

$- 1 < x < 8$ 거짓

$x > 8$ 거짓

$x < - 8$ 거짓

$- 8 < x < - 4$ 거짓

$- 4 < x < - 1$ 참

$- 1 < x < 8$ 거짓

$x > 8$ 거짓

단계 6

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 4 < x < - 1$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$- 4 < x < - 1$

구간 표기:

$(- 4, - 1)$

단계 8