기초 미적분 예제

$x^{2} e^{x} - 3 e^{x} < 0$

단계 1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{2} e^{x} - 3 e^{x} = 0$

단계 2

$x^{2} e^{x} - 3 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$x^{2} e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{x} x^{2} - 3 e^{x} = 0$

단계 2.2

$- 3 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 3 = 0$

단계 2.3

$e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 3$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{x} (x^{2} - 3) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{x} = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

단계 4

$e^{x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.1

$e^{x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{x} = 0$

단계 4.2

$e^{x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

단계 4.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 4.2.3

$e^{x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 5

$x^{2} - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

$x^{2} - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 3 = 0$

단계 5.2

$x^{2} - 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.2.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x^{2} = 3$

단계 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

단계 5.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 5.2.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{3}$

단계 5.2.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{3}$

단계 5.2.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

단계 6

$e^{x} (x^{2} - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

단계 7

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - \sqrt{3}$

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

$x > \sqrt{3}$

단계 8

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 8.1

$x < - \sqrt{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 8.1.1

$x < - \sqrt{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 8.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

${(- 4)}^{2} e^{- 4} - 3 e^{- 4} < 0$

단계 8.1.3

좌변 $0.2381033$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 8.2

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 8.2.1

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 8.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

${(0)}^{2} e^{0} - 3 e^{0} < 0$

단계 8.2.3

좌변 $- 3$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 8.3

$x > \sqrt{3}$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 8.3.1

$x > \sqrt{3}$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 8.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

${(4)}^{2} e^{4} - 3 e^{4} < 0$

단계 8.3.3

좌변 $709.77595043$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 8.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - \sqrt{3}$ 거짓

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ 참

$x > \sqrt{3}$ 거짓

$x < - \sqrt{3}$ 거짓

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ 참

$x > \sqrt{3}$ 거짓

단계 9

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

단계 10

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

구간 표기:

$(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

단계 11