기초 미적분 예제

$\sin (\arctan (\frac{x}{2}))$

단계 1

평면에 $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arctan (\frac{x}{2})$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(1, \frac{x}{2})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\sin (\arctan (\frac{x}{2}))$ 는 $\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ 입니다.

$\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

단계 2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

단계 3

분수를 통분합니다.

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단계 3.1

조합합니다.

$\frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

단계 3.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{2 \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

단계 4

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{x}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{x}{2 \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}}}$

단계 4.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{x}{2 \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}}}$

단계 4.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}}$

단계 4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}}}$

단계 4.5

$\frac{4 + x^{2}}{4}$ 을 ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.5.1

$4 + x^{2}$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}}}$

단계 4.5.2

$4$ 에서 완전제곱인 $2^{2}$ 인수를 묶습니다.

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}}$

단계 4.5.3

분수 $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})}}$

단계 4.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x}{2 (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}})}$

단계 4.7

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt{4 + x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}}$

단계 5

$2$ 와 $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{2}}$

단계 6

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 6.1

공약수를 소거하여 수식 $\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 6.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x}{\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{2}}$

단계 6.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x}{\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{1}}$

단계 6.2

$\sqrt{4 + x^{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{x}{\sqrt{4 + x^{2}}}$

단계 7

$\frac{x}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ 에 $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{\sqrt{4 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$

단계 8

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{x}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ 에 $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}} \sqrt{4 + x^{2}}}$

단계 8.2

$\sqrt{4 + x^{2}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1} \sqrt{4 + x^{2}}}$

단계 8.3

$\sqrt{4 + x^{2}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{4 + x^{2}}}^{1}}$

단계 8.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

단계 8.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{2}}$

단계 8.6

${\sqrt{4 + x^{2}}}^{2}$ 을 $4 + x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 8.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{4 + x^{2}}$ 을(를) ${(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{({(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 8.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 8.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

단계 8.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

단계 8.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{1}}$

단계 8.6.5

간단히 합니다.

$\frac{x \sqrt{4 + x^{2}}}{4 + x^{2}}$