기초 미적분 예제

$\frac{3 x + 1}{2 x^{2} - 2} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$2 x^{2} - 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{2}) - 2} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

단계 1.1.1.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{2}) + 2 (- 1)} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

단계 1.1.1.3

$2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{2} - 1)} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

단계 1.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{2} - 1^{2})} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

단계 1.1.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

단계 1.2

$2 x + 2$ 및 $2 x^{2} - 8 x + 6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x) + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

단계 1.2.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x) + 2 \cdot 1}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

단계 1.2.3

$2 (x) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

단계 1.2.4

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2}) - 8 x + 6}$

단계 1.2.4.2

$- 8 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) + 6}$

단계 1.2.4.3

$2 (x^{2}) + 2 (- 4 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2} - 4 x) + 6}$

단계 1.2.4.4

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 3}$

단계 1.2.4.5

$2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 3$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2} - 4 x + 3)}$

단계 1.2.4.6

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2} - 4 x + 3)}$

단계 1.2.4.7

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{x^{2} - 4 x + 3}$

단계 1.3

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 4 x + 3$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $3$ 이고 합은 $- 4$ 입니다.

$- 3, - 1$

단계 1.3.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)}$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)} \cdot \frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)}$

단계 4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)}$ 에 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{(3 x + 1) (x - 3)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)} \cdot \frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)}$

단계 4.2

$\frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)}$ 에 $\frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(3 x + 1) (x - 3)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)} + \frac{(x + 1) (2 (x + 1))}{(x - 3) (x - 1) (2 (x + 1))}$

단계 4.3

$(x - 3) (x - 1) (2 (x + 1))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(3 x + 1) (x - 3)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)} + \frac{(x + 1) (2 (x + 1))}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(3 x + 1) (x - 3) + (x + 1) (2 (x + 1))}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(3 x + 1) (x - 3)$ 를 전개합니다.

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단계 6.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x (x - 3) + 1 (x - 3) + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 1 (x - 3) + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.2.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} + 3 x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.2.1.2

$- 3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} - 9 x + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.2.1.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} - 9 x + x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.2.1.4

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} - 9 x + x - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.2.2

$- 9 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + (x \cdot 2 + 1 \cdot 2) (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.4

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + (2 \cdot x + 1 \cdot 2) (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + (2 \cdot x + 2) (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 x + 2) (x + 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x (x + 1) + 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.7.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.7.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2 \cdot 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.7.1.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.7.2

$2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x^{2} + 4 x + 2}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.8

$3 x^{2}$ 를 $2 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{5 x^{2} - 8 x - 3 + 4 x + 2}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.9

$- 8 x$ 를 $4 x$ 에 더합니다.

$\frac{5 x^{2} - 4 x - 3 + 2}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.10

$- 3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{5 x^{2} - 4 x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.11

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.11.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 5 \cdot - 1 = - 5$ 이고 합이 $b = - 4$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.11.1.1

$- 4 x$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 x^{2} - 4 (x) - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.11.1.2

$- 4$ 를 $1$ + $- 5$ 로 다시 씁니다.

$\frac{5 x^{2} + (1 - 5) x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.11.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 x^{2} + 1 x - 5 x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.11.1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5 x^{2} + x - 5 x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.11.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.11.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(5 x^{2} + x) - 5 x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.11.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{x (5 x + 1) - (5 x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 6.11.3

최대공약수 $5 x + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 7

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

단계 7.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5 x + 1}{2 (x + 1) (x - 3)}$