기초 미적분 예제

$\frac{\frac{5}{{(x + h)}^{2}} - \frac{5}{x^{2}}}{h}$

단계 1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{5}{{(x + h)}^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{5}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{5}{x^{2}}}{h}$

단계 1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{5}{x^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{5}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{5}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

단계 1.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 ${(x + h)}^{2} x^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 1.3.1

$\frac{5}{{(x + h)}^{2}}$ 에 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{5 x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{5}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

단계 1.3.2

$\frac{5}{x^{2}}$ 에 $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{5 x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{5 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

단계 1.3.3

${(x + h)}^{2} x^{2}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{5 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

단계 1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{5 x^{2} - 5 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

단계 1.5

인수분해된 형태로 $\frac{5 x^{2} - 5 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ 를 다시 씁니다.

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단계 1.5.1

$5 x^{2} - 5 {(x + h)}^{2}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.5.1.1

$5 x^{2}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{5 (x^{2}) - 5 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

단계 1.5.1.2

$- 5 {(x + h)}^{2}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{5 (x^{2}) + 5 (- {(x + h)}^{2})}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

단계 1.5.1.3

$5 (x^{2}) + 5 (- {(x + h)}^{2})$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{5 (x^{2} - {(x + h)}^{2})}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

단계 1.5.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = x + h$ 입니다.

$\frac{\frac{5 ((x + x + h) (x - (x + h)))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

단계 1.5.3

간단히 합니다.

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단계 1.5.3.1

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{5 ((2 x + h) (x - (x + h)))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

단계 1.5.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{5 ((2 x + h) (x - x - h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

단계 1.5.3.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{5 ((2 x + h) (0 - h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

단계 1.5.3.4

$0$ 에서 $h$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{5 ((2 x + h) \cdot - 1 h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

단계 1.5.3.5

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\frac{\frac{5 (- ((2 x + h) h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

$\frac{\frac{5 \cdot - 1 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

단계 1.5.4

지수를 묶습니다.

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단계 1.5.4.1

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\frac{\frac{- ((5 (2 x + h)) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

단계 1.5.4.2

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{- 5 ((2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

단계 1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{- \frac{(5 (2 x + h)) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

단계 2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{(5 (2 x + h)) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

단계 3

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.1

$- \frac{(5 (2 x + h)) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 5 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

단계 3.2

$- 5 (2 x + h) h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$\frac{h (- 5 (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

단계 3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{h (- 5 (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

단계 3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 5 (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

단계 4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5 (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$