기초 미적분 예제

$\frac{\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 1}{\sin^{2} (x)}$

단계 1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\cos^{2} (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 1}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 1}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.3

$- 1$ 를 옮깁니다.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.4

$\cos^{2} (x)$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.5

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.6

$\cos^{2} (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.7

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.8

$- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ 을 $- (1 - \cos^{2} (x))$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.9

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{- \sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.10

$- \sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 에서 $\sin^{2} (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.10.1

$- \sin^{2} (x)$ 에서 $\sin^{2} (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot - 1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.10.2

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 에서 $\sin^{2} (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.10.3

$\sin^{2} (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 에서 $\sin^{2} (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1 + \frac{1}{\cos^{2} (x)})}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.11

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1 + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)})}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.12

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ 을 ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1 + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2})}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.13

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1^{2} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2})}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.14

$- 1^{2}$ 와 ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) ({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1^{2})}{\sin^{2} (x)}$

단계 1.15

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \frac{1}{\cos (x)}$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x)}$

단계 2

$\sin^{2} (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x)}$

단계 2.2

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$

단계 3

FOIL 계산법을 이용하여 $(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ 를 전개합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

단계 4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.1.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 $\frac{1}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

단계 4.1.1.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

단계 4.1.1.3

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

단계 4.1.1.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

단계 4.1.1.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

단계 4.1.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

단계 4.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

단계 4.1.4

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

단계 4.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1$

단계 4.2

$- \frac{1}{\cos (x)}$ 를 $\frac{1}{\cos (x)}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + 0 - 1$

단계 4.3

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1$

단계 5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1$

단계 5.2

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ 을 ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1$

단계 5.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$\sec^{2} (x) - 1$

단계 6

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\tan^{2} (x)$