기초 미적분 예제

$\sqrt{25 - x^{2}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{25 - x^{2}}}$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{5^{2} - x^{2}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{25 - x^{2}}}$

단계 1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 5$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2}}{\sqrt{25 - x^{2}}}$

단계 1.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2}}{\sqrt{5^{2} - x^{2}}}$

단계 1.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 5$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$

단계 1.4

$\frac{x^{2}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$ 을 곱합니다.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$

단계 1.5

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$\frac{x^{2}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$ 을 곱합니다.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$

단계 1.5.2

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{1} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$

단계 1.5.3

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{1} {\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{1}}$

단계 1.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{1 + 1}}$

단계 1.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{2}}$

단계 1.5.6

${\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{2}$ 을 $(5 + x) (5 - x)$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 을(를) ${((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{({((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 1.5.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 1.5.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{((5 + x) (5 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

단계 1.5.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{((5 + x) (5 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

단계 1.5.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{((5 + x) (5 - x))}^{1}}$

단계 1.5.6.5

간단히 합니다.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)}$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{(5 + x) (5 - x)}{(5 + x) (5 - x)}$ 을 곱합니다.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)}$

단계 3

항을 간단히 합니다.

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단계 3.1

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 와 $\frac{(5 + x) (5 - x)}{(5 + x) (5 - x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x))}{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)}$

단계 3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x)) + x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)}$

단계 4

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x)) + x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 에서 $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.1

$x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 에서 $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x)) + \sqrt{(5 + x) (5 - x)} x^{2}}{(5 + x) (5 - x)}$

단계 4.1.2

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x)) + \sqrt{(5 + x) (5 - x)} x^{2}$ 에서 $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

단계 4.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(5 + x) (5 - x)$ 를 전개합니다.

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단계 4.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (5 (5 - x) + x (5 - x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

단계 4.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (5 \cdot 5 + 5 (- x) + x (5 - x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

단계 4.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (5 \cdot 5 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

단계 4.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1.1

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

단계 4.3.1.2

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + x \cdot 5 + x (- x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

단계 4.3.1.3

$x$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + 5 \cdot x + x (- x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

단계 4.3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + 5 x - x \cdot x + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

단계 4.3.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + 5 x - (x \cdot x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

단계 4.3.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + 5 x - x^{2} + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

단계 4.3.2

$- 5 x$ 를 $5 x$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 + 0 - x^{2} + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

단계 4.3.3

$25$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - x^{2} + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

단계 4.4

$- x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 + 0)}{(5 + x) (5 - x)}$

단계 4.5

$25$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} \cdot 25}{(5 + x) (5 - x)}$

단계 5

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 의 왼쪽으로 $25$ 이동하기

$\frac{25 \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)}$