기초 미적분 예제

$\csc^{2} (x) - 2 \cot (x) = 0$

단계 1

항등식 $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 를 사용하여 $\csc^{2} (x)$ 를 $\cot^{2} (x) + 1$ 로 바꿉니다.

$(\cot^{2} (x) + 1) - 2 \cot (x) = 0$

단계 2

다항식을 다시 정렬합니다.

$\cot^{2} (x) - 2 \cot (x) + 1 = 0$

단계 3

$\cot (x)$ 에 $u$ 를 대입합니다.

${(u)}^{2} - 2 u + 1 = 0$

단계 4

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 4.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

단계 4.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

단계 4.3

다항식을 다시 씁니다.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

단계 4.4

$a = u$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

${(u - 1)}^{2} = 0$

단계 5

$u - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u - 1 = 0$

단계 6

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$u = 1$

단계 7

$u$ 에 $\cot (x)$ 를 대입합니다.

$\cot (x) = 1$

단계 8

코탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코탄젠트의 역을 취합니다.

$x = arccot (1)$

단계 9

우변을 간단히 합니다.

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단계 9.1

$arccot (1)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{4}$ 입니다.

$x = \frac{π}{4}$

단계 10

코탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = π + \frac{π}{4}$

단계 11

$π + \frac{π}{4}$ 을 간단히 합니다.

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단계 11.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

단계 11.2

분수를 통분합니다.

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단계 11.2.1

$π$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

단계 11.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

단계 11.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

단계 11.3.2

$4 π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$x = \frac{5 π}{4}$

단계 12

$\cot (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 12.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 12.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 12.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 12.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 13

함수 $\cot (x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$

단계 14

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{4} + π n$