기초 미적분 예제

$\sin^{2} (x) + \sin (x) = \frac{1}{2}$

단계 1

$\sin (x)$ 에 $u$ 를 대입합니다.

${(u)}^{2} + u = \frac{1}{2}$

단계 2

방정식의 양변에서 $\frac{1}{2}$ 를 뺍니다.

$u^{2} + u - \frac{1}{2} = 0$

단계 3

식 전체에 최소공분모 $2$ 을 곱한 다음 식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (- \frac{1}{2}) = 0$

단계 3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1

$- \frac{1}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (\frac{- 1}{2}) = 0$

단계 3.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (\frac{- 1}{2}) = 0$

단계 3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 u^{2} + 2 u - 1 = 0$

단계 4

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 5

이차함수의 근의 공식에 $a = 2$ , $b = 2$ , $c = - 1$ 을 대입하여 $u$ 를 구합니다.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

단계 6.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 6.1.2.1

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

단계 6.1.2.2

$- 8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

단계 6.1.3

$4$ 를 $8$ 에 더합니다.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

단계 6.1.4

$12$ 을 $2^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 6.1.4.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

단계 6.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

단계 6.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

단계 6.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

단계 6.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ 을 간단히 합니다.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

단계 7

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$u = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

단계 8

$u$ 에 $\sin (x)$ 를 대입합니다.

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

단계 9

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

단계 10

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 10.1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

단계 10.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 10.2.1

$\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$ 의 값을 구합니다.

$x = 0.37473443$

단계 10.3

사인 함수는 제3사분면과 제4사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 해를 빼서 기준각을 찾습니다. 그리고 이 기준각에 $π$ 를 더하여 제3사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = 2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$

단계 10.4

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

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단계 10.4.1

$2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$x = 2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265 - 2 π$

단계 10.4.2

결과 각인 $2.76685822$ 은 양의 값으로 $2 π$ 보다 작으며 $2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$ 과 양변을 공유하는 관계입니다.

$x = 2.76685822$

단계 10.5

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 10.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 10.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 10.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 10.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 10.6

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 0.37473443 + 2 π n, 2.76685822 + 2 π n$

단계 11

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 11.1

사인의 범위는 $- 1 \leq y \leq 1$ 입니다. $- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 가 이 영역에 속하지 않으므로 해는 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 12

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 0.37473443 + 2 π n, 2.76685822 + 2 π n$