기초 미적분 예제

$31 x^{2} + 10 \sqrt{3} x y + 21 y^{2} - 144 = 0$

단계 1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2

이차함수의 근의 공식에 $a = 31$ , $b = 10 \sqrt{3} y$ , $c = 21 y^{2} - 144$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(10 \sqrt{3} y)}^{2} - 4 \cdot (31 \cdot (21 y^{2} - 144))}}{2 \cdot 31}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

괄호를 표시합니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(10 (\sqrt{3} y))}^{2} - 4 \cdot (31 \cdot (21 y^{2} - 144))}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.2

$u = 31 \cdot (21 y^{2} - 144)$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $31 \cdot (21 y^{2} - 144)$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

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단계 3.1.2.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

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단계 3.1.2.1.1

$10 \sqrt{3} y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(10 \sqrt{3})}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.2.1.2

$10 \sqrt{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{10^{2} {\sqrt{3}}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.2.2

$10$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 {\sqrt{3}}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.2.3

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 3.1.2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.2.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.2.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.2.3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.1.2.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.2.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3 y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.2.3.5

지수값을 계산합니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3 y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.2.4

$100$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{300 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.3

$300 y^{2} - 4 u$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1.3.1

$300 y^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.3.2

$- 4 u$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.3.3

$4 (75 y^{2}) + 4 (- u)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - u)}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.4

$u$ 를 모두 $31 \cdot (21 y^{2} - 144)$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (31 \cdot (21 y^{2} - 144)))}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.5

간단히 합니다.

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단계 3.1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (31 (21 y^{2}) + 31 \cdot - 144))}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.5.1.2

$21$ 에 $31$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (651 y^{2} + 31 \cdot - 144))}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.5.1.3

$31$ 에 $- 144$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (651 y^{2} - 4464))}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.5.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (651 y^{2}) + 4464)}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.5.1.5

$651$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - 651 y^{2} + 4464)}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.5.1.6

$- 1$ 에 $- 4464$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - 651 y^{2} + 4464)}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.5.2

$75 y^{2}$ 에서 $651 y^{2}$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (- 576 y^{2} + 4464)}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.6

$- 576 y^{2} + 4464$ 에서 $144$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1.6.1

$- 576 y^{2}$ 에서 $144$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (144 (- 4 y^{2}) + 4464)}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.6.2

$4464$ 에서 $144$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (144 (- 4 y^{2}) + 144 (31))}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.6.3

$144 (- 4 y^{2}) + 144 (31)$ 에서 $144$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (144 (- 4 y^{2} + 31))}}{2 \cdot 31}$

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 \cdot (144 (- 4 y^{2} + 31))}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.7

$4$ 에 $144$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{576 (- 4 y^{2} + 31)}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.8

$576$ 을 $24^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{24^{2} (- 4 y^{2} + 31)}}{2 \cdot 31}$

단계 3.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm 24 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{2 \cdot 31}$

단계 3.2

$2$ 에 $31$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm 24 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{62}$

단계 3.3

$\frac{- 10 \sqrt{3} y \pm 24 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{62}$ 을 간단히 합니다.

$x = \frac{- 5 \sqrt{3} y \pm 12 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{31}$

단계 4

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - \frac{5 \sqrt{3} y - 12 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{31}$

$x = - \frac{5 \sqrt{3} y + 12 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{31}$