기초 미적분 예제

$3 e^{x} + 2 e^{- x} = 7$

단계 1

$e^{- x}$ 을 지수 형태로 바꿔 씁니다.

$3 e^{x} + 2 {(e^{x})}^{- 1} = 7$

단계 2

$e^{x}$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$3 u + 2 u^{- 1} = 7$

단계 3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$3 u + 2 (\frac{1}{u}) = 7$

단계 3.2

$2$ 와 $\frac{1}{u}$ 을 묶습니다.

$3 u + \frac{2}{u} = 7$

단계 4

$u$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$1, u, 1$

단계 4.1.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$u$

단계 4.2

$3 u + \frac{2}{u} = 7$ 의 각 항에 $u$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$3 u + \frac{2}{u} = 7$ 의 각 항에 $u$ 을 곱합니다.

$3 u \cdot u + \frac{2}{u} u = 7 u$

단계 4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

지수를 더하여 $u$ 에 $u$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1.1

$u$ 를 옮깁니다.

$3 (u \cdot u) + \frac{2}{u} u = 7 u$

단계 4.2.2.1.1.2

$u$ 에 $u$ 을 곱합니다.

$3 u^{2} + \frac{2}{u} u = 7 u$

단계 4.2.2.1.2

$u$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$3 u^{2} + \frac{2}{u} u = 7 u$

단계 4.2.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$3 u^{2} + 2 = 7 u$

단계 4.3

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

방정식의 양변에서 $7 u$ 를 뺍니다.

$3 u^{2} + 2 - 7 u = 0$

단계 4.3.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

항을 다시 정렬합니다.

$3 u^{2} - 7 u + 2 = 0$

단계 4.3.2.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ 이고 합이 $b = - 7$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

$- 7 u$ 에서 $- 7$ 를 인수분해합니다.

$3 u^{2} - 7 u + 2 = 0$

단계 4.3.2.2.2

$- 7$ 를 $- 1$ + $- 6$ 로 다시 씁니다.

$3 u^{2} + (- 1 - 6) u + 2 = 0$

단계 4.3.2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$3 u^{2} - 1 u - 6 u + 2 = 0$

단계 4.3.2.3

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(3 u^{2} - 1 u) - 6 u + 2 = 0$

단계 4.3.2.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$u (3 u - 1) - 2 (3 u - 1) = 0$

단계 4.3.2.4

최대공약수 $3 u - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(3 u - 1) (u - 2) = 0$

단계 4.3.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$3 u - 1 = 0$

$u - 2 = 0$

단계 4.3.4

$3 u - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

$3 u - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 u - 1 = 0$

단계 4.3.4.2

$3 u - 1 = 0$ 을 $u$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$3 u = 1$

단계 4.3.4.2.2

$3 u = 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.2.2.1

$3 u = 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

단계 4.3.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

단계 4.3.4.2.2.2.1.2

$u$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u = \frac{1}{3}$

단계 4.3.5

$u - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

$u - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u - 2 = 0$

단계 4.3.5.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$u = 2$

단계 4.3.6

$(3 u - 1) (u - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$u = \frac{1}{3}, 2$

단계 5

$u = e^{x}$ 의 $u$ 에 $\frac{1}{3}$ 를 대입합니다.

$\frac{1}{3} = e^{x}$

단계 6

$\frac{1}{3} = e^{x}$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$e^{x} = \frac{1}{3}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$e^{x} = \frac{1}{3}$

단계 6.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{3})$

단계 6.3

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{x})$ 을 전개합니다.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{3})$

단계 6.3.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{3})$

단계 6.3.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \ln (\frac{1}{3})$

단계 7

$u = e^{x}$ 의 $u$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$2 = e^{x}$

단계 8

$2 = e^{x}$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$e^{x} = 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$e^{x} = 2$

단계 8.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

단계 8.3

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{x})$ 을 전개합니다.

$x \ln (e) = \ln (2)$

단계 8.3.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$x \cdot 1 = \ln (2)$

단계 8.3.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \ln (2)$

단계 9

방정식이 참이 되게 하는 해를 나열합니다.

$x = \ln (\frac{1}{3}), \ln (2)$

단계 10

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$x = \ln (\frac{1}{3}), \ln (2)$

소수 형태:

$x = - 1.09861228 \dots, 0.69314718 \dots$