기초 미적분 예제

$3 - 3 \sin (x) = 6 \cos^{2} (x)$

단계 1

방정식의 양변에서 $6 \cos^{2} (x)$ 를 뺍니다.

$3 - 3 \sin (x) - 6 \cos^{2} (x) = 0$

단계 2

항등식 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 를 사용하여 $- 6 \cos^{2} (x)$ 를 $- 6 (1 - \sin^{2} (x))$ 로 바꿉니다.

$3 - 3 \sin (x) - 6 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

단계 3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 - 3 \sin (x) - 6 \cdot 1 - 6 (- \sin^{2} (x)) = 0$

단계 3.2

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 - 3 \sin (x) - 6 - 6 (- \sin^{2} (x)) = 0$

단계 3.3

$- 1$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$3 - 3 \sin (x) - 6 + 6 \sin^{2} (x) = 0$

단계 4

$3$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$- 3 \sin (x) - 3 + 6 \sin^{2} (x) = 0$

단계 5

다항식을 다시 정렬합니다.

$6 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) - 3 = 0$

단계 6

$\sin (x)$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$6 {(u)}^{2} - 3 u - 3 = 0$

단계 7

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$6 u^{2} - 3 u - 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$6 u^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (2 u^{2}) - 3 u - 3 = 0$

단계 7.1.2

$- 3 u$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (2 u^{2}) + 3 (- u) - 3 = 0$

단계 7.1.3

$- 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (2 u^{2}) + 3 (- u) + 3 (- 1) = 0$

단계 7.1.4

$3 (2 u^{2}) + 3 (- u)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (2 u^{2} - u) + 3 (- 1) = 0$

단계 7.1.5

$3 (2 u^{2} - u) + 3 (- 1)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

단계 7.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 이고 합이 $b = - 1$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1.1

$- u$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$3 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

단계 7.2.1.1.2

$- 1$ 를 $1$ + $- 2$ 로 다시 씁니다.

$3 (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

단계 7.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

단계 7.2.1.1.4

$u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

단계 7.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$3 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

단계 7.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$3 (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

단계 7.2.1.3

최대공약수 $2 u + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$3 ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

단계 7.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$3 (2 u + 1) (u - 1) = 0$

단계 8

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

단계 9

$2 u + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$2 u + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 u + 1 = 0$

단계 9.2

$2 u + 1 = 0$ 을 $u$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$2 u = - 1$

단계 9.2.2

$2 u = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1

$2 u = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 9.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 9.2.2.2.1.2

$u$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u = \frac{- 1}{2}$

단계 9.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$u = - \frac{1}{2}$

단계 10

$u - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$u - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u - 1 = 0$

단계 10.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$u = 1$

단계 11

$3 (2 u + 1) (u - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

단계 12

$u$ 에 $\sin (x)$ 를 대입합니다.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}, 1$

단계 13

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

$\sin (x) = 1$

단계 14

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

단계 14.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $- \frac{π}{6}$ 입니다.

$x = - \frac{π}{6}$

단계 14.3

사인 함수는 제3사분면과 제4사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 해를 빼서 기준각을 찾습니다. 그리고 이 기준각에 $π$ 를 더하여 제3사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

단계 14.4

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

단계 14.4.2

결과 각인 $\frac{7 π}{6}$ 은 양의 값으로 $2 π$ 보다 작으며 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 과 양변을 공유하는 관계입니다.

$x = \frac{7 π}{6}$

단계 14.5

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 14.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 14.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 14.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 14.6

모든 음의 각에 $2 π$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.6.1

$- \frac{π}{6}$ 에 $2 π$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

단계 14.6.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

단계 14.6.3

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.6.3.1

$2 π$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

단계 14.6.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

단계 14.6.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.6.4.1

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{12 π - π}{6}$

단계 14.6.4.2

$12 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$\frac{11 π}{6}$

단계 14.6.5

새 각을 나열합니다.

$x = \frac{11 π}{6}$

단계 14.7

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$

단계 15

$\sin (x) = 1$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (1)$

단계 15.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

$\arcsin (1)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$x = \frac{π}{2}$

단계 15.3

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = π - \frac{π}{2}$

단계 15.4

$π - \frac{π}{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 15.4.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.2.1

$π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 15.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

단계 15.4.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

단계 15.4.3.2

$2 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{π}{2}$

단계 15.5

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 15.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 15.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 15.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 15.6

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + 2 π n$

단계 16

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$

단계 17

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$