기초 미적분 예제

$3 + \csc (x) = \frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$

단계 1

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에서 $\frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ 를 뺍니다.

$\csc (x) - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

단계 1.2

$\csc (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

단계 1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{\sin (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

단계 1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} = - 3$

단계 1.5

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ 에 $\frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} = - 3$

단계 1.5.2

$\frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ 에 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5 \sin (x)}{(3 - 2 \sin (x)) \sin (x)} = - 3$

단계 1.5.3

$(3 - 2 \sin (x)) \sin (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

단계 1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3 - 2 \sin (x) - 5 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

단계 1.7

$- 2 \sin (x)$ 에서 $5 \sin (x)$ 을 뺍니다.

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

단계 2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$\sin (x) (3 - 2 \sin (x)), 1$

단계 2.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$

단계 3

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$ 의 각 항에 $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$ 의 각 항에 $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ 을 곱합니다.

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} (\sin (x) (3 - 2 \sin (x))) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} (\sin (x) (3 - 2 \sin (x))) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

단계 3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 2 \sin (x)))$

단계 3.3.1.2

다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.2.1

$\sin (x)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \cdot \sin (x) + \sin (x) (- 2 \sin (x)))$

단계 3.3.1.2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \cdot \sin (x) - 2 \sin (x) \sin (x))$

단계 3.3.2

지수를 더하여 $\sin (x)$ 에 $\sin (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$\sin (x)$ 를 옮깁니다.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x) - 2 (\sin (x) \sin (x)))$

단계 3.3.2.2

$\sin (x)$ 에 $\sin (x)$ 을 곱합니다.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x))$

단계 3.3.3

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x)) - 3 (- 2 \sin^{2} (x))$

단계 3.3.3.2

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$3 - 7 \sin (x) = - 9 \sin (x) - 3 (- 2 \sin^{2} (x))$

단계 3.3.3.2.2

$- 2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$3 - 7 \sin (x) = - 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x)$

단계 4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\sin (x)$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$- 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x) = 3 - 7 \sin (x)$

단계 4.2

$\sin (x)$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

방정식의 양변에 $7 \sin (x)$ 를 더합니다.

$- 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x) + 7 \sin (x) = 3$

단계 4.2.2

$- 9 \sin (x)$ 를 $7 \sin (x)$ 에 더합니다.

$6 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 3$

단계 4.3

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$6 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) - 3 = 0$

단계 4.4

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 4.5

이차함수의 근의 공식에 $a = 6$ , $b = - 2$ , $c = - 3$ 을 대입하여 $\sin (x)$ 를 구합니다.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 3)}}{2 \cdot 6}$

단계 4.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 3}}{2 \cdot 6}$

단계 4.6.1.2

$- 4 \cdot 6 \cdot - 3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1.2.1

$- 4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 3}}{2 \cdot 6}$

단계 4.6.1.2.2

$- 24$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 72}}{2 \cdot 6}$

단계 4.6.1.3

$4$ 를 $72$ 에 더합니다.

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 6}$

단계 4.6.1.4

$76$ 을 $2^{2} \cdot 19$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1.4.1

$76$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 6}$

단계 4.6.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 6}$

단계 4.6.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\sin (x) = \frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 6}$

단계 4.6.2

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\sin (x) = \frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{12}$

단계 4.6.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{12}$ 을 간단히 합니다.

$\sin (x) = \frac{1 \pm \sqrt{19}}{6}$

단계 4.7

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}, \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$

단계 5

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$

단계 6

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{19}}{6})$

단계 6.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$\arcsin (\frac{1 + \sqrt{19}}{6})$ 의 값을 구합니다.

$x = 1.10430054$

단계 6.3

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = (3.14159265) - 1.10430054$

단계 6.4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

괄호를 제거합니다.

$x = 3.14159265 - 1.10430054$

단계 6.4.2

괄호를 제거합니다.

$x = (3.14159265) - 1.10430054$

단계 6.4.3

$3.14159265$ 에서 $1.10430054$ 을 뺍니다.

$x = 2.0372921$

단계 6.5

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 6.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 6.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 6.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 6.6

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 1.10430054 + 2 π n, 2.0372921 + 2 π n$

단계 7

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{19}}{6})$

단계 7.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$\arcsin (\frac{1 - \sqrt{19}}{6})$ 의 값을 구합니다.

$x = - 0.59416431$

단계 7.3

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = (3.14159265) + 0.59416431$

단계 7.4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

괄호를 제거합니다.

$x = 3.14159265 + 0.59416431$

단계 7.4.2

괄호를 제거합니다.

$x = (3.14159265) + 0.59416431$

단계 7.4.3

$3.14159265$ 를 $0.59416431$ 에 더합니다.

$x = 3.73575697$

단계 7.5

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 7.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 7.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 7.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 7.6

모든 음의 각에 $2 π$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.1

$- 0.59416431$ 에 $2 π$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- 0.59416431 + 2 π$

단계 7.6.2

$2 π$ 에서 $0.59416431$ 을 뺍니다.

$5.68902098$

단계 7.6.3

새 각을 나열합니다.

$x = 5.68902098$

단계 7.7

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 3.73575697 + 2 π n, 5.68902098 + 2 π n$

단계 8

모든 해를 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 1.10430054 + 2 π n, 2.0372921 + 2 π n, 3.73575697 + 2 π n, 5.68902098 + 2 π n$