기초 미적분 예제

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{16} = 1$

단계 1

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{16} = 1$

단계 2

쌍곡선의 공식입니다. 이 공식을 이용하여 쌍곡선의 점근선을 구하는 데 사용되는 값들을 계산합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 쌍곡선에서의 값과 표준형을 비교합니다. 변수 $h$ 는 원점에서 x축 방향으로 떨어진 거리를 나타내고 $k$ 는 원점에서 y축 방향으로 떨어진 거리 $a$ 를 나타냅니다.

$a = 3$

$b = 4$

$k = 5$

$h = - 4$

단계 4

쌍곡선의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(- 4, 5)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 쌍곡선의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{9 + {(4)}^{2}}$

단계 5.3.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{9 + 16}$

단계 5.3.3

$9$ 를 $16$ 에 더합니다.

$\sqrt{25}$

단계 5.3.4

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{5^{2}}$

단계 5.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$5$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

쌍곡선의 첫 번째 꼭짓점은 $h$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h + a, k)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 1, 5)$

단계 6.3

쌍곡선의 두 번째 꼭짓점은 $h$ 에서 $a$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h - a, k)$

단계 6.4

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 7, 5)$

단계 6.5

포물선의 꼭짓점은 $(h \pm a, k)$ 형태입니다. 포물선은 2개의 꼭짓점을 갖습니다.

$(- 1, 5), (- 7, 5)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

쌍곡선의 첫 번째 초점은 $h$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h + c, k)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(1, 5)$

단계 7.3

쌍곡선의 두 번째 초점은 $h$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h - c, k)$

단계 7.4

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- 9, 5)$

단계 7.5

쌍곡선의 초점은 $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ 형태입니다. 쌍곡선은 초점이 2개입니다.

$(1, 5), (- 9, 5)$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}}{3}$

단계 8.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}}}{3}$

단계 8.3.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{9 + 16}}{3}$

단계 8.3.3

$9$ 를 $16$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{25}}{3}$

단계 8.3.4

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{3}$

단계 8.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{5}{3}$

단계 9

초점 매개변수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

다음의 공식을 이용하여 쌍곡선의 초점 매개변수 값을 구합니다.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

단계 9.2

$b$ , $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{4^{2}}{5}$

단계 9.3

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{16}{5}$

단계 10

쌍곡선이 좌우로 열리는 모양이므로 점근선은 $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ 와 같은 형태를 가집니다.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (- 4)) + 5$

단계 11

첫 번째 점근선을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

괄호를 제거합니다.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 4)) + 5$

단계 11.2

$\frac{4}{3} \cdot (x - (- 4)) + 5$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x + 4) + 5$

단계 11.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot 4 + 5$

단계 11.2.1.3

$\frac{4}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot 4 + 5$

단계 11.2.1.4

$\frac{4}{3} \cdot 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.4.1

$\frac{4}{3}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 \cdot 4}{3} + 5$

단계 11.2.1.4.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 5$

단계 11.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $5$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

단계 11.2.3

$5$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

단계 11.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 5 \cdot 3}{3}$

단계 11.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.5.1

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 15}{3}$

단계 11.2.5.2

$16$ 를 $15$ 에 더합니다.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{31}{3}$

단계 12

두 번째 점근선을 구하기 위하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

괄호를 제거합니다.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 4)) + 5$

단계 12.2

$- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 4)) + 5$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.1

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x + 4) + 5$

단계 12.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot 4 + 5$

단계 12.2.1.3

$x$ 와 $\frac{4}{3}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 4 + 5$

단계 12.2.1.4

$- \frac{4}{3} \cdot 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.4.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - 4 (\frac{4}{3}) + 5$

단계 12.2.1.4.2

$- 4$ 와 $\frac{4}{3}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4 \cdot 4}{3} + 5$

단계 12.2.1.4.3

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 16}{3} + 5$

단계 12.2.1.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.5.1

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$y = - \frac{4 \cdot x}{3} + \frac{- 16}{3} + 5$

단계 12.2.1.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{16}{3} + 5$

단계 12.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $5$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{16}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

단계 12.2.3

$5$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{16}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

단계 12.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{- 16 + 5 \cdot 3}{3}$

단계 12.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.1

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{- 16 + 15}{3}$

단계 12.2.5.2

$- 16$ 를 $15$ 에 더합니다.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

단계 12.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{1}{3}$

단계 13

이 쌍곡선은 두 개의 점근선을 갖습니다.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{31}{3}, y = - \frac{4 x}{3} - \frac{1}{3}$

단계 14

이는 쌍곡선을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(- 4, 5)$

꼭짓점: $(- 1, 5), (- 7, 5)$

초점: $(1, 5), (- 9, 5)$

이심률: $\frac{5}{3}$

초점 변수: $\frac{16}{5}$

점근선: $y = \frac{4 x}{3} + \frac{31}{3}$ , $y = - \frac{4 x}{3} - \frac{1}{3}$

단계 15