기초 미적분 예제

${(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1} = 8$

단계 1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln ({(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1}) = \ln (8)$

단계 2

왼편을 확장합니다.

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단계 2.1

$x - 1$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1})$ 을 전개합니다.

$(x - 1) \ln (2^{2 x} \cdot 2^{2 x}) = \ln (8)$

단계 2.2

지수를 더하여 $2^{2 x}$ 에 $2^{2 x}$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(x - 1) \ln (2^{2 x + 2 x}) = \ln (8)$

단계 2.2.2

$2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$(x - 1) \ln (2^{4 x}) = \ln (8)$

단계 2.3

$4 x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (2^{4 x})$ 을 전개합니다.

$(x - 1) (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

단계 3

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.1

$(x - 1) (4 x \ln (2))$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x (4 x \ln (2)) - 1 (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

단계 3.1.1.2

식을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$4 \ln (2) x \cdot x - 1 (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

단계 3.1.1.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \ln (2) x \cdot x - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

단계 3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$4 \ln (2) (x \cdot x) - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

단계 3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$4 \ln (2) x^{2} - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

$4 \ln (2) x^{2} - 4 x \ln (2) = \ln (8)$

단계 3.1.3

$4 \ln (2) x^{2} - 4 x \ln (2)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$4 x^{2} \ln (2) - 4 x \ln (2) = \ln (8)$

단계 4

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$4 x^{2} \ln (2) - 4 x \ln (2) - \ln (8) = 0$

단계 5

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 6

이차함수의 근의 공식에 $a = 4 \ln (2)$ , $b = - 4 \ln (2)$ , $c = - \ln (8)$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (2))}^{2} - 4 \cdot (4 \ln (2) \cdot (- \ln (8)))}}{2 (4 \ln (2))}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

괄호를 표시합니다.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (2))}^{2} - 4 \cdot (4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

단계 7.1.2

$u = 4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

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단계 7.1.2.1

$- 4 \ln (2)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} \ln^{2} (2) - 4 \cdot u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

단계 7.1.2.2

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{16 \ln^{2} (2) - 4 u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

단계 7.1.3

$16 \ln^{2} (2) - 4 u$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1.3.1

$16 \ln^{2} (2)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2)) - 4 u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

단계 7.1.3.2

$- 4 u$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2)) + 4 (- u)}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

단계 7.1.3.3

$4 (4 \ln^{2} (2)) + 4 (- u)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - u)}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

단계 7.1.4

$u$ 를 모두 $4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

단계 7.1.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.1.5.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (4 (- \ln (2) \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

단계 7.1.5.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (- 4 (\ln (2) \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

단계 7.1.5.3

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

단계 7.1.6

$4 \ln^{2} (2) + 4 \ln (2) \ln (8)$ 에서 $4 \ln (2)$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1.6.1

$4 \ln^{2} (2)$ 에서 $4 \ln (2)$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

단계 7.1.6.2

$4 \ln (2) \ln (8)$ 에서 $4 \ln (2)$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

단계 7.1.6.3

$4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8)$ 에서 $4 \ln (2)$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 \cdot (4 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

단계 7.1.7

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{16 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

단계 7.1.8

$16 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))$ 을 ${(2^{2})}^{2} (\ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 7.1.8.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4^{2} \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

단계 7.1.8.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

단계 7.1.8.3

괄호를 표시합니다.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (\ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

단계 7.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 2^{2} \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

단계 7.1.10

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

단계 7.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{8 \ln (2)}$

단계 7.3

$\frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{8 \ln (2)}$ 을 간단히 합니다.

$x = \frac{\ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

단계 8

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = \frac{\ln (2) + \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}, \frac{\ln (2) - \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$x = \frac{\ln (2) + \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}, \frac{\ln (2) - \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

소수 형태:

$x = 1.5, - 0.5$