기초 미적분 예제

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{v^{2} - 1} = \frac{1}{4}$

단계 1

각 항을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{v^{2} - 1^{2}} = \frac{1}{4}$

단계 1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = v$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$

단계 2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$2 (v - 1), (v + 1) (v - 1), 4$

단계 2.2

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 2.3

$2$ 는 $1$ , $2$ 이외의 인수를 가지지 않습니다.

$2$ 는 소수입니다

단계 2.4

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 2.5

$4$ 의 인수는 $2$ 와 $2$ 입니다.

$2 \cdot 2$

단계 2.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4$

단계 2.7

$v - 1$ 의 인수는 $v - 1$ 자신입니다.

$(v - 1) = v - 1$

$(v - 1)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.8

$v + 1$ 의 인수는 $v + 1$ 자신입니다.

$(v + 1) = v + 1$

$(v + 1)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.9

$v - 1$ 의 인수는 $v - 1$ 자신입니다.

$(v - 1) = v - 1$

$(v - 1)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.10

$v - 1, v + 1, v - 1$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 인수의 최대 개수만큼 모든 인수를 곱한 결과입니다.

$(v - 1) (v + 1)$

단계 2.11

임의의 숫자 $LCM$ 의 최소공배수는 해당 숫자가 인수인 가장 작은 숫자입니다.

$4 (v - 1) (v + 1)$

단계 3

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$ 의 각 항에 $4 (v - 1) (v + 1)$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$ 의 각 항에 $4 (v - 1) (v + 1)$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$4 \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

단계 3.2.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2) \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

단계 3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

단계 3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 \frac{1}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

단계 3.2.1.3

$2$ 와 $\frac{1}{v - 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

단계 3.2.1.4

$v - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

단계 3.2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$2 (v + 1) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

단계 3.2.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$2 v + 2 \cdot 1 + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

단계 3.2.1.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 v + 2 + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

단계 3.2.1.7

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 v + 2 + 4 \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

단계 3.2.1.8

$4 \frac{3}{(v + 1) (v - 1)}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.8.1

$4$ 와 $\frac{3}{(v + 1) (v - 1)}$ 을 묶습니다.

$2 v + 2 + \frac{4 \cdot 3}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

단계 3.2.1.8.2

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2 v + 2 + \frac{12}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

단계 3.2.1.9

$(v - 1) (v + 1)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.9.1

$(v + 1) (v - 1)$ 에서 $(v - 1) (v + 1)$ 를 인수분해합니다.

$2 v + 2 + \frac{12}{(v - 1) (v + 1) (1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

단계 3.2.1.9.2

공약수로 약분합니다.

$2 v + 2 + \frac{12}{(v - 1) (v + 1) \cdot 1} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

단계 3.2.1.9.3

수식을 다시 씁니다.

$2 v + 2 + 12 = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

단계 3.2.2

$2$ 를 $12$ 에 더합니다.

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$4 (v - 1) (v + 1)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 ((v - 1) (v + 1)))$

단계 3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 ((v - 1) (v + 1)))$

단계 3.3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$2 v + 14 = (v - 1) (v + 1)$

단계 3.3.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(v - 1) (v + 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 v + 14 = v (v + 1) - 1 (v + 1)$

단계 3.3.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 v + 14 = v \cdot v + v \cdot 1 - 1 (v + 1)$

단계 3.3.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 v + 14 = v \cdot v + v \cdot 1 - 1 v - 1 \cdot 1$

단계 3.3.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$v \cdot v + v \cdot 1 - 1 v - 1 \cdot 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

인수가 항 $v \cdot 1$ 과(와) $- 1 v$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$2 v + 14 = v \cdot v + 1 v - 1 v - 1 \cdot 1$

단계 3.3.3.1.2

$1 v$ 에서 $1 v$ 을 뺍니다.

$2 v + 14 = v \cdot v + 0 - 1 \cdot 1$

단계 3.3.3.1.3

$v \cdot v$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 v + 14 = v \cdot v - 1 \cdot 1$

단계 3.3.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1

$v$ 에 $v$ 을 곱합니다.

$2 v + 14 = v^{2} - 1 \cdot 1$

단계 3.3.3.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 v + 14 = v^{2} - 1$

단계 4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

방정식의 양변에서 $v^{2}$ 를 뺍니다.

$2 v + 14 - v^{2} = - 1$

단계 4.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 v + 14 - v^{2} + 1 = 0$

단계 4.3

$14$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 v - v^{2} + 15 = 0$

단계 4.4

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$2 v - v^{2} + 15$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1.1

$2 v$ 와 $- v^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- v^{2} + 2 v + 15 = 0$

단계 4.4.1.2

$- v^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (v^{2}) + 2 v + 15 = 0$

단계 4.4.1.3

$2 v$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (v^{2}) - (- 2 v) + 15 = 0$

단계 4.4.1.4

$15$ 을 $- 1 (- 15)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (v^{2}) - (- 2 v) - 1 \cdot - 15 = 0$

단계 4.4.1.5

$- (v^{2}) - (- 2 v)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (v^{2} - 2 v) - 1 \cdot - 15 = 0$

단계 4.4.1.6

$- (v^{2} - 2 v) - 1 (- 15)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (v^{2} - 2 v - 15) = 0$

단계 4.4.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

AC 방법을 이용하여 $v^{2} - 2 v - 15$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 15$ 이고 합은 $- 2$ 입니다.

$- 5, 3$

단계 4.4.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- ((v - 5) (v + 3)) = 0$

단계 4.4.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- (v - 5) (v + 3) = 0$

단계 4.5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$v - 5 = 0$

$v + 3 = 0$

단계 4.6

$v - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $v$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

$v - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$v - 5 = 0$

단계 4.6.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$v = 5$

단계 4.7

$v + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $v$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

$v + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$v + 3 = 0$

단계 4.7.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$v = - 3$

단계 4.8

$- (v - 5) (v + 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$v = 5, - 3$