기초 미적분 예제

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 8 X + 4 = X + 2$

단계 1

$X$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에서 $X$ 를 뺍니다.

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 8 X + 4 - X = 2$

단계 1.2

$8 X$ 에서 $X$ 을 뺍니다.

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 4 = 2$

단계 2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 4 - 2 = 0$

단계 3

$4$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2 = 0$

단계 4

유리근 정리르 이용하여 $3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

단계 4.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

단계 4.3

$- 2$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 2$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 4.3.1

$- 2$ 을 다항식에 대입합니다.

$3 {(- 2)}^{3} + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

단계 4.3.2

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$3 \cdot - 8 + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

단계 4.3.3

$3$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$- 24 + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

단계 4.3.4

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 24 + 9 \cdot 4 + 7 \cdot - 2 + 2$

단계 4.3.5

$9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 24 + 36 + 7 \cdot - 2 + 2$

단계 4.3.6

$- 24$ 를 $36$ 에 더합니다.

$12 + 7 \cdot - 2 + 2$

단계 4.3.7

$7$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$12 - 14 + 2$

단계 4.3.8

$12$ 에서 $14$ 을 뺍니다.

$- 2 + 2$

단계 4.3.9

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$0$

단계 4.4

$- 2$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $X + 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2}{X + 2}$

단계 4.5

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ 을 $X + 2$ 로 나눕니다.

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단계 4.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$X$

$2$

$3 X^{3}$

$9 X^{2}$

$7 X$

$2$

단계 4.5.2

피제수 $3 X^{3}$ 의 고차항을 제수 $X$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$3 X^{2}$
	$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$

단계 4.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			+	$3 X^{3}$	+	$6 X^{2}$

단계 4.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $3 X^{3} + 6 X^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$

단계 4.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$

단계 4.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$

단계 4.5.7

피제수 $3 X^{2}$ 의 고차항을 제수 $X$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$

단계 4.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					+	$3 X^{2}$	+	$6 X$

단계 4.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $3 X^{2} + 6 X$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$

단계 4.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$

단계 4.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$

단계 4.5.12

피제수 $X$ 의 고차항을 제수 $X$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$

단계 4.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							+	$X$	+	$2$

단계 4.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $X + 2$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							-	$X$	-	$2$

단계 4.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							-	$X$	-	$2$
										$0$

단계 4.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$3 X^{2} + 3 X + 1$

단계 4.6

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(X + 2) (3 X^{2} + 3 X + 1) = 0$

단계 5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$X + 2 = 0$

$3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$

단계 6

$X + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $X$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 6.1

$X + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$X + 2 = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$X = - 2$

단계 7

$3 X^{2} + 3 X + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $X$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$3 X^{2} + 3 X + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$

단계 7.2

$3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$ 을 $X$ 에 대해 풉니다.

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단계 7.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 7.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 3$ , $b = 3$ , $c = 1$ 을 대입하여 $X$ 를 구합니다.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

단계 7.2.3

간단히 합니다.

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단계 7.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.2.3.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

단계 7.2.3.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

단계 7.2.3.1.2.2

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 3}$

단계 7.2.3.1.3

$9$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 3}$

단계 7.2.3.1.4

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

단계 7.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

단계 7.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$X = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

단계 7.2.3.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$X = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{6}$

단계 7.2.4

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$X = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{6}$

단계 8

$(X + 2) (3 X^{2} + 3 X + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$X = - 2, - \frac{3 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{6}$