기초 미적분 예제

$3 (2^{2 x}) - 11 \cdot 2^{x} - 4 = 0$

단계 1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 1.1

$2^{2 x}$ 을 ${(2^{x})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 \cdot {(2^{x})}^{2} - 11 \cdot 2^{x} - 4 = 0$

단계 1.2

$u = 2^{x}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $2^{x}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

단계 1.3

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 1.3.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ 이고 합이 $b = - 11$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 1.3.1.1

$- 11 u$ 에서 $- 11$ 를 인수분해합니다.

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

단계 1.3.1.2

$- 11$ 를 $1$ + $- 12$ 로 다시 씁니다.

$3 u^{2} + (1 - 12) u - 4 = 0$

단계 1.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$3 u^{2} + 1 u - 12 u - 4 = 0$

단계 1.3.1.4

$u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 u^{2} + u - 12 u - 4 = 0$

단계 1.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 1.3.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(3 u^{2} + u) - 12 u - 4 = 0$

단계 1.3.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$u (3 u + 1) - 4 (3 u + 1) = 0$

단계 1.3.3

최대공약수 $3 u + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(3 u + 1) (u - 4) = 0$

단계 1.4

$u$ 를 모두 $2^{x}$ 로 바꿉니다.

$(3 \cdot 2^{x} + 1) (2^{x} - 4) = 0$

단계 2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$

$2^{x} - 4 = 0$

단계 3

$3 \cdot 2^{x} + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.1

$3 \cdot 2^{x} + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$

단계 3.2

$3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$3 \cdot 2^{x} = - 1$

단계 3.2.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (3 \cdot 2^{x}) = \ln (- 1)$

단계 3.2.3

$\ln (- 1)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 3.2.4

$3 \cdot 2^{x} = - 1$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 4

$2^{x} - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.1

$2^{x} - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2^{x} - 4 = 0$

단계 4.2

$2^{x} - 4 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.1

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$2^{x} = 4$

단계 4.2.2

방정식에서 지수의 밑이 모두 같은 동일한 수식이 되도록 만듭니다.

$2^{x} = 2^{2}$

단계 4.2.3

밑이 같으므로 지수가 같을 경우에만 두 식은 같습니다.

$x = 2$

단계 5

$(3 \cdot 2^{x} + 1) (2^{x} - 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 2$