기초 미적분 예제

$240 = x (x + 7) (18 - 2 x)$

단계 1

$x (x + 7) (18 - 2 x) = 240$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x (x + 7) (18 - 2 x) = 240$

단계 2

$x (x + 7) (18 - 2 x)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(x \cdot x + x \cdot 7) (18 - 2 x) = 240$

단계 2.1.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(x^{2} + x \cdot 7) (18 - 2 x) = 240$

단계 2.1.2.2

$x$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$(x^{2} + 7 \cdot x) (18 - 2 x) = 240$

단계 2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{2} + 7 x) (18 - 2 x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} (18 - 2 x) + 7 x (18 - 2 x) = 240$

단계 2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} \cdot 18 + x^{2} (- 2 x) + 7 x (18 - 2 x) = 240$

단계 2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} \cdot 18 + x^{2} (- 2 x) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

단계 2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $18$ 이동하기

$18 \cdot x^{2} + x^{2} (- 2 x) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

단계 2.3.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$18 x^{2} - 2 x^{2} x + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

단계 2.3.1.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$18 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

단계 2.3.1.3.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$18 x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

단계 2.3.1.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$18 x^{2} - 2 x^{1 + 2} + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

단계 2.3.1.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

단계 2.3.1.4

$18$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 x (- 2 x) = 240$

단계 2.3.1.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 x \cdot x = 240$

단계 2.3.1.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 (x \cdot x) = 240$

단계 2.3.1.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 x^{2} = 240$

단계 2.3.1.7

$7$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 14 x^{2} = 240$

단계 2.3.2

$18 x^{2}$ 에서 $14 x^{2}$ 을 뺍니다.

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x = 240$

단계 3

방정식의 양변에서 $240$ 를 뺍니다.

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 240 = 0$

단계 4

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 4.1

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 240$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.1

$4 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2 x^{2}) - 2 x^{3} + 126 x - 240 = 0$

단계 4.1.2

$- 2 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 126 x - 240 = 0$

단계 4.1.3

$126 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 2 (63 x) - 240 = 0$

단계 4.1.4

$- 240$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 2 (63 x) + 2 (- 120) = 0$

단계 4.1.5

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2 x^{2} - x^{3}) + 2 (63 x) + 2 (- 120) = 0$

단계 4.1.6

$2 (2 x^{2} - x^{3}) + 2 (63 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x) + 2 (- 120) = 0$

단계 4.1.7

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x) + 2 (- 120)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x - 120) = 0$

단계 4.2

항을 다시 정렬합니다.

$2 (- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120) = 0$

단계 4.3

인수분해합니다.

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단계 4.3.1

유리근 정리르 이용하여 $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

$q = \pm 1$

단계 4.3.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

단계 4.3.1.3

$8$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $8$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 4.3.1.3.1

$8$ 을 다항식에 대입합니다.

$- 8^{3} + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

단계 4.3.1.3.2

$8$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 1 \cdot 512 + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

단계 4.3.1.3.3

$- 1$ 에 $512$ 을 곱합니다.

$- 512 + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

단계 4.3.1.3.4

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 512 + 2 \cdot 64 + 63 \cdot 8 - 120$

단계 4.3.1.3.5

$2$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$- 512 + 128 + 63 \cdot 8 - 120$

단계 4.3.1.3.6

$- 512$ 를 $128$ 에 더합니다.

$- 384 + 63 \cdot 8 - 120$

단계 4.3.1.3.7

$63$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 384 + 504 - 120$

단계 4.3.1.3.8

$- 384$ 를 $504$ 에 더합니다.

$120 - 120$

단계 4.3.1.3.9

$120$ 에서 $120$ 을 뺍니다.

$0$

단계 4.3.1.4

$8$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 8$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120}{x - 8}$

단계 4.3.1.5

$- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ 을 $x - 8$ 로 나눕니다.

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단계 4.3.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$8$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$63 x$

$120$

단계 4.3.1.5.2

피제수 $- x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$

단계 4.3.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$

단계 4.3.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- x^{3} + 8 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$

단계 4.3.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

단계 4.3.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$

단계 4.3.1.5.7

피제수 $- 6 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$

단계 4.3.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$48 x$

단계 4.3.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 6 x^{2} + 48 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$

단계 4.3.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$

단계 4.3.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$

단계 4.3.1.5.12

피제수 $15 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$

단계 4.3.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							+	$15 x$	-	$120$

단계 4.3.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $15 x - 120$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							-	$15 x$	+	$120$

단계 4.3.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							-	$15 x$	+	$120$
										$0$

단계 4.3.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$- x^{2} - 6 x + 15$

단계 4.3.1.6

$- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$2 ((x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15)) = 0$

단계 4.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 (x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15) = 0$

단계 5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 8 = 0$

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$

단계 6

$x - 8$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x - 8$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 8 = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$x = 8$

단계 7

$- x^{2} - 6 x + 15$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$- x^{2} - 6 x + 15$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$

단계 7.2

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 7.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = - 1$ , $b = - 6$ , $c = 15$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 15)}}{2 \cdot - 1}$

단계 7.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1.1

$- 6$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 15}}{2 \cdot - 1}$

단계 7.2.3.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot 15$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 15}}{2 \cdot - 1}$

단계 7.2.3.1.2.2

$4$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 60}}{2 \cdot - 1}$

단계 7.2.3.1.3

$36$ 를 $60$ 에 더합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot - 1}$

단계 7.2.3.1.4

$96$ 을 $4^{2} \cdot 6$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1.4.1

$96$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot - 1}$

단계 7.2.3.1.4.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

단계 7.2.3.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot - 1}$

단계 7.2.3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{- 2}$

단계 7.2.3.3

$\frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{- 2}$ 을 간단히 합니다.

$x = \frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{- 1}$

단계 7.2.3.4

$\frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$x = - 1 \cdot (3 \pm 2 \sqrt{6})$

단계 7.2.3.5

$- 1 \cdot (3 \pm 2 \sqrt{6})$ 을 $- (3 \pm 2 \sqrt{6})$ 로 바꿔 씁니다.

$x = - (3 \pm 2 \sqrt{6})$

단계 7.2.4

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

단계 8

$2 (x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 8, - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$x = 8, - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

소수 형태:

$x = 8, - 7.89897948 \dots, 1.89897948 \dots$