기초 미적분 예제

$9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1 = 0$

단계 1

유리근 정리르 이용하여 $9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

단계 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.\overline{3}$

단계 1.3

$- 0.\overline{3}$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 0.\overline{3}$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 1.3.1

$- 0.\overline{3}$ 을 다항식에 대입합니다.

$9 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 12 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

단계 1.3.2

$- 0.\overline{3}$ 를 $3$ 승 합니다.

$9 \cdot - 0.\overline{037} - 12 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

단계 1.3.3

$9$ 에 $- 0.\overline{037}$ 을 곱합니다.

$- 0.\overline{3} - 12 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

단계 1.3.4

$- 0.\overline{3}$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 0.\overline{3} - 12 \cdot 0.\overline{1} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

단계 1.3.5

$- 12$ 에 $0.\overline{1}$ 을 곱합니다.

$- 0.\overline{3} - 1.\overline{3} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

단계 1.3.6

$- 0.\overline{3}$ 에서 $1.\overline{3}$ 을 뺍니다.

$- 1.\overline{6} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

단계 1.3.7

$- 8$ 에 $- 0.\overline{3}$ 을 곱합니다.

$- 1.\overline{6} + 2.\overline{6} - 1$

단계 1.3.8

$- 1.\overline{6}$ 를 $2.\overline{6}$ 에 더합니다.

$1 - 1$

단계 1.3.9

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$0$

단계 1.4

$- 0.\overline{3}$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $3 x + 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1}{3 x + 1}$

단계 1.5

$9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1$ 을 $3 x + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$3 x$

$1$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$8 x$

$1$

단계 1.5.2

피제수 $9 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$3 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$

단계 1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			+	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

단계 1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $9 x^{3} + 3 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

단계 1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$

단계 1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$

단계 1.5.7

피제수 $- 15 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$

단계 1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$15 x^{2}$	-	$5 x$

단계 1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 15 x^{2} - 5 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$

단계 1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$

단계 1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$

단계 1.5.12

피제수 $- 3 x$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$

단계 1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	-	$1$

단계 1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 3 x - 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	+	$1$

단계 1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	+	$1$
										$0$

단계 1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$3 x^{2} - 5 x - 1$

단계 1.6

$9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(3 x + 1) (3 x^{2} - 5 x - 1) = 0$

단계 2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$3 x + 1 = 0$

$3 x^{2} - 5 x - 1 = 0$

단계 3

$3 x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.1

$3 x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 x + 1 = 0$

단계 3.2

$3 x + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$3 x = - 1$

단계 3.2.2

$3 x = - 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.1

$3 x = - 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

단계 3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

단계 3.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{3}$

단계 3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1}{3}$

단계 4

$3 x^{2} - 5 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$3 x^{2} - 5 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 x^{2} - 5 x - 1 = 0$

단계 4.2

$3 x^{2} - 5 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 4.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 3$ , $b = - 5$ , $c = - 1$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

단계 4.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1.1

$- 5$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

단계 4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

단계 4.2.3.1.2.2

$- 12$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 12}}{2 \cdot 3}$

단계 4.2.3.1.3

$25$ 를 $12$ 에 더합니다.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{2 \cdot 3}$

단계 4.2.3.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{6}$

단계 4.2.4

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = \frac{5 + \sqrt{37}}{6}, \frac{5 - \sqrt{37}}{6}$

단계 5

$(3 x + 1) (3 x^{2} - 5 x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - \frac{1}{3}, \frac{5 + \sqrt{37}}{6}, \frac{5 - \sqrt{37}}{6}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$x = - \frac{1}{3}, \frac{5 + \sqrt{37}}{6}, \frac{5 - \sqrt{37}}{6}$

소수 형태:

$x = - 0.\overline{3}, 1.84712708 \dots, - 0.18046042 \dots$