기초 미적분 예제

$\tan (2 x) = \tan (x)$

단계 1

방정식의 양변에서 $\tan (x)$ 를 뺍니다.

$\tan (2 x) - \tan (x) = 0$

단계 2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

탄젠트 배각 공식을 적용합니다.

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} - \tan (x) = 0$

단계 2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 \tan (x)}{1^{2} - \tan^{2} (x)} - \tan (x) = 0$

단계 2.2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \tan (x)$ 입니다.

$\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x) = 0$

단계 3

$\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x)$ 에서 $\tan (x)$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}$ 에서 $\tan (x)$ 를 인수분해합니다.

$\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x) = 0$

단계 3.2

$- \tan (x)$ 에서 $\tan (x)$ 를 인수분해합니다.

$\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} + \tan (x) \cdot - 1 = 0$

단계 3.3

$\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} + \tan (x) \cdot - 1$ 에서 $\tan (x)$ 를 인수분해합니다.

$\tan (x) (\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1) = 0$

단계 4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$\tan (x) = 0$

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$

단계 5

$\tan (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\tan (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\tan (x) = 0$

단계 5.2

$\tan (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (0)$

단계 5.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$\arctan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 5.2.3

탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = π + 0$

단계 5.2.4

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x = π$

단계 5.2.5

$\tan (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1

함수의 주기는 $\frac{π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{π}{| b |}$

단계 5.2.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{π}{| 1 |}$

단계 5.2.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{π}{1}$

단계 5.2.5.4

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π$

단계 5.2.6

함수 $\tan (x)$ 의 주기는 $π$ 이므로 양 방향으로 $π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π n, π + π n$

단계 6

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$

단계 6.2

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)), 1, 1$

단계 6.2.1.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$

단계 6.2.2

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ 의 각 항에 $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ 의 각 항에 $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

단계 6.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1.1

$(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

단계 6.2.2.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$2 - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

단계 6.2.2.2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 - (1 (1 - \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

단계 6.2.2.2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 - (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

단계 6.2.2.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 - (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

단계 6.2.2.2.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1.3.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - (1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

단계 6.2.2.2.1.3.1.2

$- \tan (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

단계 6.2.2.2.1.3.1.3

$\tan (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

단계 6.2.2.2.1.3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan (x) \tan (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

단계 6.2.2.2.1.3.1.5

지수를 더하여 $\tan (x)$ 에 $\tan (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1.3.1.5.1

$\tan (x)$ 를 옮깁니다.

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - (\tan (x) \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

단계 6.2.2.2.1.3.1.5.2

$\tan (x)$ 에 $\tan (x)$ 을 곱합니다.

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

단계 6.2.2.2.1.3.2

$- \tan (x)$ 를 $\tan (x)$ 에 더합니다.

$2 - (1 + 0 - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

단계 6.2.2.2.1.3.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 - (1 - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

단계 6.2.2.2.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$2 - 1 \cdot 1 - - \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

단계 6.2.2.2.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - 1 - - \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

단계 6.2.2.2.1.6

$- - \tan^{2} (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 - 1 + 1 \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

단계 6.2.2.2.1.6.2

$\tan^{2} (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 - 1 + \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

단계 6.2.2.2.2

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

단계 6.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.3.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.3.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 (1 - \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x)))$

단계 6.2.2.3.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x)))$

단계 6.2.2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

단계 6.2.2.3.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.3.2.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

단계 6.2.2.3.2.1.2

$- \tan (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

단계 6.2.2.3.2.1.3

$\tan (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x)))$

단계 6.2.2.3.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan (x) \tan (x))$

단계 6.2.2.3.2.1.5

지수를 더하여 $\tan (x)$ 에 $\tan (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.3.2.1.5.1

$\tan (x)$ 를 옮깁니다.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - (\tan (x) \tan (x)))$

단계 6.2.2.3.2.1.5.2

$\tan (x)$ 에 $\tan (x)$ 을 곱합니다.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan^{2} (x))$

단계 6.2.2.3.2.2

$- \tan (x)$ 를 $\tan (x)$ 에 더합니다.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 + 0 - \tan^{2} (x))$

단계 6.2.2.3.2.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan^{2} (x))$

단계 6.2.2.3.3

$0$ 에 $1 - \tan^{2} (x)$ 을 곱합니다.

$1 + \tan^{2} (x) = 0$

단계 6.2.3

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$\tan^{2} (x) = - 1$

단계 6.2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1}$

단계 6.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$\tan (x) = \pm i$

단계 6.2.3.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$\tan (x) = i$

단계 6.2.3.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$\tan (x) = - i$

단계 6.2.3.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$\tan (x) = i, - i$

단계 6.2.4

각 식에 대하여 $x$ 를 구합니다.

$\tan (x) = i$

$\tan (x) = - i$

단계 6.2.5

$\tan (x) = i$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.5.1

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (i)$

단계 6.2.5.2

$\arctan (i)$ 의 역 탄젠트가 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 6.2.6

$\tan (x) = - i$ 의 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.6.1

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (- i)$

단계 6.2.6.2

$\arctan (- i)$ 의 역 탄젠트가 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 6.2.7

모든 해를 나열합니다.

해 없음

단계 7

$\tan (x) (\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π n, π + π n$

단계 8

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π n$