기초 미적분 예제

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 2

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{3}$ 입니다.

$x + \frac{π}{4} = \frac{π}{3}$

단계 3

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 3.1

방정식의 양변에서 $\frac{π}{4}$ 를 뺍니다.

$x = \frac{π}{3} - \frac{π}{4}$

단계 3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{π}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{π}{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

단계 3.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $12$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 3.4.1

$\frac{π}{3}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

단계 3.4.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

단계 3.4.3

$\frac{π}{4}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

단계 3.4.4

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12}$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 4 - π \cdot 3}{12}$

단계 3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$π$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x = \frac{4 \cdot π - π \cdot 3}{12}$

단계 3.6.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 π - 3 π}{12}$

단계 3.6.3

$4 π$ 에서 $3 π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{π}{12}$

단계 4

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x + \frac{π}{4} = π - \frac{π}{3}$

단계 5

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$π - \frac{π}{3}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x + \frac{π}{4} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 5.1.2

분수를 통분합니다.

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단계 5.1.2.1

$π$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$x + \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

단계 5.1.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x + \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

단계 5.1.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x + \frac{π}{4} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

단계 5.1.3.2

$3 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3}$

단계 5.2

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.2.1

방정식의 양변에서 $\frac{π}{4}$ 를 뺍니다.

$x = \frac{2 π}{3} - \frac{π}{4}$

단계 5.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2 π}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

단계 5.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{π}{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

단계 5.2.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $12$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 5.2.4.1

$\frac{2 π}{3}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

단계 5.2.4.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

단계 5.2.4.3

$\frac{π}{4}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

단계 5.2.4.4

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12}$

단계 5.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π \cdot 3}{12}$

단계 5.2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.2.6.1

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{8 π - π \cdot 3}{12}$

단계 5.2.6.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{8 π - 3 π}{12}$

단계 5.2.6.3

$8 π$ 에서 $3 π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{5 π}{12}$

단계 6

$\sin (x + \frac{π}{4})$ 주기를 구합니다.

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단계 6.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 6.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 6.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 6.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 7

함수 $\sin (x + \frac{π}{4})$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{12} + 2 π n, \frac{5 π}{12} + 2 π n$