기초 미적분 예제

$\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{16 y + 4}{y^{2} - 16}$

단계 1

각 항을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$16 y + 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$16 y$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{4 (4 y) + 4}{y^{2} - 16}$

단계 1.1.2

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{4 (4 y) + 4 (1)}{y^{2} - 16}$

단계 1.1.3

$4 (4 y) + 4 (1)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{4 (4 y + 1)}{y^{2} - 16}$

단계 1.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{4 (4 y + 1)}{y^{2} - 4^{2}}$

단계 1.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = y$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)}$

단계 2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$y - 4, y, (y + 4) (y - 4)$

단계 2.2

Since $y - 4, y, (y + 4) (y - 4)$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

$y - 4, y, (y + 4) (y - 4)$ 의 최소공배수를 구하는 단계:

1. 숫자 부분 $1, 1, 1$ 의 최소공배수를 구합니다.

2. 변수 부분 $y^{1}$ 의 최소공배수를 구합니다.

3. 혼합 변수 부분 $y - 4, y + 4, y - 4$ 의 최소공배수를 구합니다.

4. 각각의 최소공배수를 함께 곱합니다.

단계 2.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 2.4

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 2.5

$1, 1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$1$

단계 2.6

$y^{1}$ 의 인수는 $y$ 자신입니다.

$y^{1} = y$

$y$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.7

$y^{1}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$y$

단계 2.8

$y - 4$ 의 인수는 $y - 4$ 자신입니다.

$(y - 4) = y - 4$

$(y - 4)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.9

$y + 4$ 의 인수는 $y + 4$ 자신입니다.

$(y + 4) = y + 4$

$(y + 4)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.10

$y - 4$ 의 인수는 $y - 4$ 자신입니다.

$(y - 4) = y - 4$

$(y - 4)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.11

$y - 4, y + 4, y - 4$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 인수의 최대 개수만큼 모든 인수를 곱한 결과입니다.

$(y - 4) (y + 4)$

단계 2.12

임의의 숫자 $LCM$ 의 최소공배수는 해당 숫자가 인수인 가장 작은 숫자입니다.

$y (y - 4) (y + 4)$

단계 3

$\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)}$ 의 각 항에 $y (y - 4) (y + 4)$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)}$ 의 각 항에 $y (y - 4) (y + 4)$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{y - 4} (y (y - 4) (y + 4)) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$y - 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$y (y - 4) (y + 4)$ 에서 $y - 4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{16}{y - 4} ((y - 4) (y (y + 4))) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{16}{y - 4} ((y - 4) (y (y + 4))) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$16 (y (y + 4)) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$16 (y \cdot y + y \cdot 4) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2.1.3

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$16 (y^{2} + y \cdot 4) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2.1.4

$y$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$16 (y^{2} + 4 \cdot y) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$16 y^{2} + 16 (4 y) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2.1.6

$4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$16 y^{2} + 64 y - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2.1.7

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.7.1

$- \frac{4}{y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$16 y^{2} + 64 y + \frac{- 4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2.1.7.2

$y (y - 4) (y + 4)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$16 y^{2} + 64 y + \frac{- 4}{y} (y ((y - 4) (y + 4))) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2.1.7.3

공약수로 약분합니다.

$16 y^{2} + 64 y + \frac{- 4}{y} (y ((y - 4) (y + 4))) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2.1.7.4

수식을 다시 씁니다.

$16 y^{2} + 64 y - 4 ((y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2.1.8

FOIL 계산법을 이용하여 $(y - 4) (y + 4)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y (y + 4) - 4 (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2.1.8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y \cdot y + y \cdot 4 - 4 (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2.1.8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y \cdot y + y \cdot 4 - 4 y - 4 \cdot 4) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2.1.9

$y \cdot y + y \cdot 4 - 4 y - 4 \cdot 4$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.9.1

인수가 항 $y \cdot 4$ 과(와) $- 4 y$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y \cdot y + 4 y - 4 y - 4 \cdot 4) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2.1.9.2

$4 y$ 에서 $4 y$ 을 뺍니다.

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y \cdot y + 0 - 4 \cdot 4) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2.1.9.3

$y \cdot y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y \cdot y - 4 \cdot 4) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2.1.10

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.10.1

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y^{2} - 4 \cdot 4) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2.1.10.2

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y^{2} - 16) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2.1.11

분배 법칙을 적용합니다.

$16 y^{2} + 64 y - 4 y^{2} - 4 \cdot - 16 = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2.1.12

$- 4$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$16 y^{2} + 64 y - 4 y^{2} + 64 = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.2.2

$16 y^{2}$ 에서 $4 y^{2}$ 을 뺍니다.

$12 y^{2} + 64 y + 64 = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$(y - 4) (y + 4)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$(y + 4) (y - 4)$ 에서 $(y - 4) (y + 4)$ 를 인수분해합니다.

$12 y^{2} + 64 y + 64 = \frac{4 (4 y + 1)}{(y - 4) (y + 4) (1)} (y (y - 4) (y + 4))$

단계 3.3.1.2

$y (y - 4) (y + 4)$ 에서 $(y - 4) (y + 4)$ 를 인수분해합니다.

$12 y^{2} + 64 y + 64 = \frac{4 (4 y + 1)}{(y - 4) (y + 4) (1)} ((y - 4) (y + 4) (y))$

단계 3.3.1.3

공약수로 약분합니다.

$12 y^{2} + 64 y + 64 = \frac{4 (4 y + 1)}{(y - 4) (y + 4) \cdot 1} ((y - 4) (y + 4) y)$

단계 3.3.1.4

수식을 다시 씁니다.

$12 y^{2} + 64 y + 64 = 4 (4 y + 1) y$

단계 3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$12 y^{2} + 64 y + 64 = (4 (4 y) + 4 \cdot 1) y$

단계 3.3.3

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 y^{2} + 64 y + 64 = (16 y + 4 \cdot 1) y$

단계 3.3.3.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 y^{2} + 64 y + 64 = (16 y + 4) y$

단계 3.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$12 y^{2} + 64 y + 64 = 16 y \cdot y + 4 y$

단계 3.3.5

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1

$y$ 를 옮깁니다.

$12 y^{2} + 64 y + 64 = 16 (y \cdot y) + 4 y$

단계 3.3.5.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$12 y^{2} + 64 y + 64 = 16 y^{2} + 4 y$

단계 4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$y$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

방정식의 양변에서 $16 y^{2}$ 를 뺍니다.

$12 y^{2} + 64 y + 64 - 16 y^{2} = 4 y$

단계 4.1.2

방정식의 양변에서 $4 y$ 를 뺍니다.

$12 y^{2} + 64 y + 64 - 16 y^{2} - 4 y = 0$

단계 4.1.3

$12 y^{2}$ 에서 $16 y^{2}$ 을 뺍니다.

$- 4 y^{2} + 64 y + 64 - 4 y = 0$

단계 4.1.4

$64 y$ 에서 $4 y$ 을 뺍니다.

$- 4 y^{2} + 60 y + 64 = 0$

단계 4.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$- 4 y^{2} + 60 y + 64$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$- 4 y^{2}$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$- 4 y^{2} + 60 y + 64 = 0$

단계 4.2.1.2

$60 y$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$- 4 y^{2} - 4 (- 15 y) + 64 = 0$

단계 4.2.1.3

$64$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$- 4 y^{2} - 4 (- 15 y) - 4 \cdot - 16 = 0$

단계 4.2.1.4

$- 4 (y^{2}) - 4 (- 15 y)$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$- 4 (y^{2} - 15 y) - 4 \cdot - 16 = 0$

단계 4.2.1.5

$- 4 (y^{2} - 15 y) - 4 (- 16)$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$- 4 (y^{2} - 15 y - 16) = 0$

단계 4.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $y^{2} - 15 y - 16$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 16$ 이고 합은 $- 15$ 입니다.

$- 16, 1$

단계 4.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- 4 ((y - 16) (y + 1)) = 0$

단계 4.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- 4 (y - 16) (y + 1) = 0$

단계 4.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$y - 16 = 0$

$y + 1 = 0$

단계 4.4

$y - 16$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $y$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$y - 16$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$y - 16 = 0$

단계 4.4.2

방정식의 양변에 $16$ 를 더합니다.

$y = 16$

단계 4.5

$y + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $y$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$y + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$y + 1 = 0$

단계 4.5.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$y = - 1$

단계 4.6

$- 4 (y - 16) (y + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$y = 16, - 1$