기초 미적분 예제

$y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$

단계 1

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = y$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = y$

단계 2

양변에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

단계 3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{x} + e^{- x} = y \cdot 2$

단계 3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{x} + e^{- x} = 2 y$

단계 4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$e^{- x}$ 을 지수 형태로 바꿔 씁니다.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 2 y$

단계 4.2

$e^{x}$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$u + u^{- 1} = 2 y$

단계 4.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$u + \frac{1}{u} = 2 y$

단계 4.4

$u$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$1, u, 1$

단계 4.4.1.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$u$

단계 4.4.2

$u + \frac{1}{u} = 2 y$ 의 각 항에 $u$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

$u + \frac{1}{u} = 2 y$ 의 각 항에 $u$ 을 곱합니다.

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 2 y u$

단계 4.4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.2.1.1

$u$ 에 $u$ 을 곱합니다.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

단계 4.4.2.2.1.2

$u$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

단계 4.4.2.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$u^{2} + 1 = 2 y u$

단계 4.4.3

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.3.1

방정식의 양변에서 $2 y u$ 를 뺍니다.

$u^{2} + 1 - 2 y u = 0$

단계 4.4.3.2

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 4.4.3.3

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 2 y$ , $c = 1$ 을 대입하여 $u$ 를 구합니다.

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.3.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.3.4.1.1

$4 \cdot 1 \cdot 1$ 을 ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.3.4.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = - 2 y$ 이고 $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ 입니다.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.3.4.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.3.4.1.3.1

$- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.3.4.1.3.1.1

$- 2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.3.4.1.3.1.2

$2 \cdot 1 \cdot 1$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.3.4.1.3.1.3

$2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.3.4.1.3.2

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.3.4.1.3.3

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.3.4.1.3.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.3.4.1.3.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.3.4.1.3.3.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.3.4.1.4

$- 2 y - 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.3.4.1.4.1

$- 2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) - 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.3.4.1.4.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) + 2 (- 1))}}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.3.4.1.4.3

$2 (- y) + 2 (- 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) \cdot (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.3.4.1.5

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.3.4.1.6

$4 (- y + 1) (- y - 1)$ 을 $2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.3.4.1.6.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.3.4.1.6.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.3.4.1.6.3

괄호를 표시합니다.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.3.4.1.7

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.3.4.1.8

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 4.4.3.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$

단계 4.4.3.4.3

$\frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$u = y \pm \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

단계 4.4.3.5

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

단계 4.5

$u = e^{x}$ 의 $u$ 에 $y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ 를 대입합니다.

$y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$

단계 4.6

$y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

$e^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$e^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

단계 4.6.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

단계 4.6.3

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.3.1

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{x})$ 을 전개합니다.

$x \ln (e) = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

단계 4.6.3.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$x \cdot 1 = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

단계 4.6.3.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

단계 4.7

$u = e^{x}$ 의 $u$ 에 $y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ 를 대입합니다.

$y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$

단계 4.8

$y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.1

$e^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$e^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

단계 4.8.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

단계 4.8.3

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.3.1

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{x})$ 을 전개합니다.

$x \ln (e) = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

단계 4.8.3.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$x \cdot 1 = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

단계 4.8.3.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

단계 4.9

방정식이 참이 되게 하는 해를 나열합니다.

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$