기초 미적분 예제

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

단계 1

$x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

$x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.1.1

$x^{4}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} x^{2} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$

단계 2.1.1.2

$- 8 x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + 16 x^{2} = 0$

단계 2.1.1.3

$16 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 = 0$

단계 2.1.1.4

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x)$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} (x^{2} - 8 x) + x^{2} \cdot 16 = 0$

단계 2.1.1.5

$x^{2} (x^{2} - 8 x) + x^{2} \cdot 16$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} (x^{2} - 8 x + 16) = 0$

단계 2.1.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 2.1.2.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} (x^{2} - 8 x + 4^{2}) = 0$

단계 2.1.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

단계 2.1.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

단계 2.1.2.4

$a = x$ 이고 $b = 4$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

단계 2.3

$x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

$x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} = 0$

단계 2.3.2

$x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 2.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 2.3.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 2.3.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 2.4

${(x - 4)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

${(x - 4)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 4)}^{2} = 0$

단계 2.4.2

${(x - 4)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.4.2.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 2.4.2.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 2.5

최종 해는 $x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ 이 참이 되게 하는 모든 값입니다. 근의 중복도는 근이 나타나는 횟수입니다.

$x = 0$ ( $2$ 의 중복도)

$x = 4$ ( $2$ 의 중복도)

$x = 0$ ( $2$ 의 중복도)

$x = 4$ ( $2$ 의 중복도)

단계 3