기초 미적분 예제

$f (x) = x^{4} + 6 x^{2} - 27$

단계 1

$x^{4} + 6 x^{2} - 27$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{4} + 6 x^{2} - 27 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

방정식에 $u = x^{2}$ 를 대입합니다. 이렇게 하면 근의 공식을 쉽게 사용할 수 있습니다.

$u^{2} + 6 u - 27 = 0$

$u = x^{2}$

단계 2.2

AC 방법을 이용하여 $u^{2} + 6 u - 27$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 27$ 이고 합은 $6$ 입니다.

$- 3, 9$

단계 2.2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(u - 3) (u + 9) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$u - 3 = 0$

$u + 9 = 0$

단계 2.4

$u - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$u - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u - 3 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$u = 3$

단계 2.5

$u + 9$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$u + 9$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u + 9 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에서 $9$ 를 뺍니다.

$u = - 9$

단계 2.6

최종 해는 $(u - 3) (u + 9) = 0$ 이 참이 되게 하는 모든 값입니다. 근의 중복도는 근이 나타나는 횟수입니다.

$u = 3$ ( $1$ 의 중복도)

$u = - 9$ ( $1$ 의 중복도)

단계 2.7

풀어진 방정식에 $u = x^{2}$ 에 해당하는 값을 대입합니다.

$x^{2} = 3$

${(x^{2})}^{1} = - 9$

단계 2.8

첫 번째 방정식을 $x$ 에 대해 풉니다.

$x^{2} = 3$

단계 2.9

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

단계 2.9.2

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.9.2.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{3}$

단계 2.9.2.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{3}$

단계 2.9.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

단계 2.9.3

근의 다중도는 근이 나타나는 횟수입니다. 예를 들어, ${(x + 5)}^{3}$ 의 인수는 $3$ 의 다중도와 함께 $x = - 5$ 에서 근을 갖습니다.

$x = \sqrt{3}$ ( $1$ 의 중복도)

$x = - \sqrt{3}$ ( $1$ 의 중복도)

$x = \sqrt{3}$ ( $1$ 의 중복도)

$x = - \sqrt{3}$ ( $1$ 의 중복도)

단계 2.10

두 번째 방정식을 $x$ 에 대해 풉니다.

${(x^{2})}^{1} = - 9$

단계 2.11

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.11.1

괄호를 제거합니다.

$x^{2} = - 9$

단계 2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

단계 2.11.3

$\pm \sqrt{- 9}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.11.3.1

$- 9$ 을 $- 1 (9)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

단계 2.11.3.2

$\sqrt{- 1 (9)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

단계 2.11.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

단계 2.11.3.4

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

단계 2.11.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \cdot 3$

단계 2.11.3.6

$i$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x = \pm 3 i$

단계 2.11.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.11.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 3 i$

단계 2.11.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 3 i$

단계 2.11.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 3 i, - 3 i$

단계 2.11.5

근의 다중도는 근이 나타나는 횟수입니다. 예를 들어, ${(x + 5)}^{3}$ 의 인수는 $3$ 의 다중도와 함께 $x = - 5$ 에서 근을 갖습니다.

$x = 3 i$ ( $1$ 의 중복도)

$x = - 3 i$ ( $1$ 의 중복도)

$x = 3 i$ ( $1$ 의 중복도)

$x = - 3 i$ ( $1$ 의 중복도)

단계 2.12

$x^{4} + 6 x^{2} - 27 = 0$ 의 해는 $x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 3 i, - 3 i$ 입니다.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 3 i, - 3 i$

단계 3