기초 미적분 예제

$9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 1$

단계 1

$9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

항을 다시 묶습니다.

$- 3 x - 1 + 9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

단계 2.1.2

$- 3 x - 1$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$- 3 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (3 x) - 1 + 9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

단계 2.1.2.2

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (3 x) - 1 \cdot 1 + 9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

단계 2.1.2.3

$- (3 x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (3 x + 1) + 9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

단계 2.1.3

$9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.3.1

$9 x^{5}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3}) - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

단계 2.1.3.2

$- 21 x^{4}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3}) + x^{2} (- 21 x^{2}) + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

단계 2.1.3.3

$10 x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3}) + x^{2} (- 21 x^{2}) + x^{2} (10 x) + 6 x^{2} = 0$

단계 2.1.3.4

$6 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3}) + x^{2} (- 21 x^{2}) + x^{2} (10 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

단계 2.1.3.5

$x^{2} (9 x^{3}) + x^{2} (- 21 x^{2})$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2}) + x^{2} (10 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

단계 2.1.3.6

$x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2}) + x^{2} (10 x)$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

단계 2.1.3.7

$x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x) + x^{2} \cdot 6$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6) = 0$

단계 2.1.4

인수분해합니다.

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단계 2.1.4.1

유리근 정리르 이용하여 $9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.4.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

단계 2.1.4.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 0.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{2}, \pm 3$

단계 2.1.4.1.3

$- 0.\overline{3}$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 0.\overline{3}$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 2.1.4.1.3.1

$- 0.\overline{3}$ 을 다항식에 대입합니다.

$9 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 21 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

단계 2.1.4.1.3.2

$- 0.\overline{3}$ 를 $3$ 승 합니다.

$9 \cdot - 0.\overline{037} - 21 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

단계 2.1.4.1.3.3

$9$ 에 $- 0.\overline{037}$ 을 곱합니다.

$- 0.\overline{3} - 21 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

단계 2.1.4.1.3.4

$- 0.\overline{3}$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 0.\overline{3} - 21 \cdot 0.\overline{1} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

단계 2.1.4.1.3.5

$- 21$ 에 $0.\overline{1}$ 을 곱합니다.

$- 0.\overline{3} - 2.\overline{3} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

단계 2.1.4.1.3.6

$- 0.\overline{3}$ 에서 $2.\overline{3}$ 을 뺍니다.

$- 2.\overline{6} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

단계 2.1.4.1.3.7

$10$ 에 $- 0.\overline{3}$ 을 곱합니다.

$- 2.\overline{6} - 3.\overline{3} + 6$

단계 2.1.4.1.3.8

$- 2.\overline{6}$ 에서 $3.\overline{3}$ 을 뺍니다.

$- 6 + 6$

단계 2.1.4.1.3.9

$- 6$ 를 $6$ 에 더합니다.

$0$

단계 2.1.4.1.4

$- 0.\overline{3}$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $3 x + 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6}{3 x + 1}$

단계 2.1.4.1.5

$9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6$ 을 $3 x + 1$ 로 나눕니다.

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단계 2.1.4.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$3 x$

$1$

$9 x^{3}$

$21 x^{2}$

$10 x$

$6$

단계 2.1.4.1.5.2

피제수 $9 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$3 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$

단계 2.1.4.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			+	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

단계 2.1.4.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $9 x^{3} + 3 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

단계 2.1.4.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$

단계 2.1.4.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$

단계 2.1.4.1.5.7

피제수 $- 24 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$

단계 2.1.4.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					-	$24 x^{2}$	-	$8 x$

단계 2.1.4.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 24 x^{2} - 8 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$

단계 2.1.4.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$

단계 2.1.4.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$

단계 2.1.4.1.5.12

피제수 $18 x$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$

단계 2.1.4.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	+	$6$

단계 2.1.4.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $18 x + 6$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	-	$6$

단계 2.1.4.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	-	$6$
										$0$

단계 2.1.4.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$3 x^{2} - 8 x + 6$

단계 2.1.4.1.6

$9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$- (3 x + 1) + x^{2} ((3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6)) = 0$

단계 2.1.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- (3 x + 1) + x^{2} (3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6) = 0$

단계 2.1.5

$- (3 x + 1) + x^{2} (3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6)$ 에서 $3 x + 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1

$- (3 x + 1)$ 에서 $3 x + 1$ 를 인수분해합니다.

$(3 x + 1) \cdot - 1 + x^{2} (3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6) = 0$

단계 2.1.5.2

$x^{2} (3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6)$ 에서 $3 x + 1$ 를 인수분해합니다.

$(3 x + 1) \cdot - 1 + (3 x + 1) (x^{2} (3 x^{2} - 8 x + 6)) = 0$

단계 2.1.5.3

$(3 x + 1) \cdot - 1 + (3 x + 1) (x^{2} (3 x^{2} - 8 x + 6))$ 에서 $3 x + 1$ 를 인수분해합니다.

$(3 x + 1) (- 1 + x^{2} (3 x^{2} - 8 x + 6)) = 0$

단계 2.1.6

분배 법칙을 적용합니다.

$(3 x + 1) (- 1 + x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 6) = 0$

단계 2.1.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.7.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 6) = 0$

단계 2.1.7.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} x + x^{2} \cdot 6) = 0$

단계 2.1.7.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} x + 6 \cdot x^{2}) = 0$

단계 2.1.8

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.8.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.8.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 (x^{2} x^{2}) - 8 x^{2} x + 6 \cdot x^{2}) = 0$

단계 2.1.8.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{2 + 2} - 8 x^{2} x + 6 \cdot x^{2}) = 0$

단계 2.1.8.1.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 x^{2} x + 6 \cdot x^{2}) = 0$

단계 2.1.8.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.8.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) + 6 \cdot x^{2}) = 0$

단계 2.1.8.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.8.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) + 6 \cdot x^{2}) = 0$

단계 2.1.8.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 x^{1 + 2} + 6 \cdot x^{2}) = 0$

단계 2.1.8.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 \cdot x^{2}) = 0$

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2}) = 0$

단계 2.1.9

항을 다시 정렬합니다.

$(3 x + 1) (3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1) = 0$

단계 2.1.10

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.10.1

인수분해된 형태로 $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1$ 를 다시 씁니다.

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단계 2.1.10.1.1

유리근 정리르 이용하여 $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.10.1.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 3$

단계 2.1.10.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}$

단계 2.1.10.1.1.3

$- 0.\overline{3}$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 0.\overline{3}$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.10.1.1.3.1

$- 0.\overline{3}$ 을 다항식에 대입합니다.

$3 {(- 0.\overline{3})}^{4} - 8 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

단계 2.1.10.1.1.3.2

$- 0.\overline{3}$ 를 $4$ 승 합니다.

$3 \cdot 0.01234567 - 8 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

단계 2.1.10.1.1.3.3

$3$ 에 $0.01234567$ 을 곱합니다.

$0.\overline{037} - 8 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

단계 2.1.10.1.1.3.4

$- 0.\overline{3}$ 를 $3$ 승 합니다.

$0.\overline{037} - 8 \cdot - 0.\overline{037} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

단계 2.1.10.1.1.3.5

$- 8$ 에 $- 0.\overline{037}$ 을 곱합니다.

$0.\overline{037} + 0.\overline{296} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

단계 2.1.10.1.1.3.6

$0.\overline{037}$ 를 $0.\overline{296}$ 에 더합니다.

$0.\overline{3} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

단계 2.1.10.1.1.3.7

$- 0.\overline{3}$ 를 $2$ 승 합니다.

$0.\overline{3} + 6 \cdot 0.\overline{1} - 1$

단계 2.1.10.1.1.3.8

$6$ 에 $0.\overline{1}$ 을 곱합니다.

$0.\overline{3} + 0.\overline{6} - 1$

단계 2.1.10.1.1.3.9

$0.\overline{3}$ 를 $0.\overline{6}$ 에 더합니다.

$1 - 1$

단계 2.1.10.1.1.3.10

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$0$

단계 2.1.10.1.1.4

$- 0.\overline{3}$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $3 x + 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1}{3 x + 1}$

단계 2.1.10.1.1.5

$3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1$ 을 $3 x + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.10.1.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

단계 2.1.10.1.1.5.2

피제수 $3 x^{4}$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

단계 2.1.10.1.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

단계 2.1.10.1.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $3 x^{4} + x^{3}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

단계 2.1.10.1.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

단계 2.1.10.1.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

단계 2.1.10.1.1.5.7

피제수 $- 9 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

단계 2.1.10.1.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

단계 2.1.10.1.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 9 x^{3} - 3 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

단계 2.1.10.1.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

단계 2.1.10.1.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

단계 2.1.10.1.1.5.12

피제수 $9 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

단계 2.1.10.1.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

단계 2.1.10.1.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $9 x^{2} + 3 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

단계 2.1.10.1.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

단계 2.1.10.1.1.5.16

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

단계 2.1.10.1.1.5.17

피제수 $- 3 x$ 의 고차항을 제수 $3 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

단계 2.1.10.1.1.5.18

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

단계 2.1.10.1.1.5.19

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 3 x - 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

단계 2.1.10.1.1.5.20

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$0$

단계 2.1.10.1.1.5.21

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

단계 2.1.10.1.1.6

$3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)) = 0$

단계 2.1.10.1.2

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.10.1.2.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

단계 2.1.10.1.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1$

단계 2.1.10.1.2.3

$1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $1$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.10.1.2.3.1

$1$ 을 다항식에 대입합니다.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

단계 2.1.10.1.2.3.2

$1$ 를 $3$ 승 합니다.

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

단계 2.1.10.1.2.3.3

$1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1$

단계 2.1.10.1.2.3.4

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 - 3 + 3 \cdot 1 - 1$

단계 2.1.10.1.2.3.5

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

단계 2.1.10.1.2.3.6

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 + 3 - 1$

단계 2.1.10.1.2.3.7

$- 2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$1 - 1$

단계 2.1.10.1.2.3.8

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$0$

단계 2.1.10.1.2.4

$1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$

단계 2.1.10.1.2.5

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ 을 $x - 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.10.1.2.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

단계 2.1.10.1.2.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

단계 2.1.10.1.2.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

단계 2.1.10.1.2.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

단계 2.1.10.1.2.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

단계 2.1.10.1.2.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

단계 2.1.10.1.2.5.7

피제수 $- 2 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

단계 2.1.10.1.2.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

단계 2.1.10.1.2.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 2 x^{2} + 2 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

단계 2.1.10.1.2.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$

단계 2.1.10.1.2.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

단계 2.1.10.1.2.5.12

피제수 $x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

단계 2.1.10.1.2.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

단계 2.1.10.1.2.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x - 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

단계 2.1.10.1.2.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

단계 2.1.10.1.2.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} - 2 x + 1$

단계 2.1.10.1.2.6

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1))) = 0$

단계 2.1.10.1.3

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.10.1.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1^{2}))) = 0$

단계 2.1.10.1.3.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

단계 2.1.10.1.3.3

다항식을 다시 씁니다.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}))) = 0$

단계 2.1.10.1.3.4

$a = x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) {(x - 1)}^{2})) = 0$

단계 2.1.10.1.4

유사한 인수끼리 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.10.1.4.1

$x - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) {(x - 1)}^{2})) = 0$

단계 2.1.10.1.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) {(x - 1)}^{1 + 2}) = 0$

단계 2.1.10.1.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) {(x - 1)}^{3}) = 0$

단계 2.1.10.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(3 x + 1) (3 x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$

단계 2.1.11

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.11.1

$3 x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$(3 x + 1) (3 x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$

단계 2.1.11.2

$3 x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$(3 x + 1) (3 x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$

단계 2.1.11.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

${(3 x + 1)}^{1 + 1} {(x - 1)}^{3} = 0$

단계 2.1.11.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

${(3 x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

${(3 x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

단계 2.3

${(3 x + 1)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

${(3 x + 1)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(3 x + 1)}^{2} = 0$

단계 2.3.2

${(3 x + 1)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$3 x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 x + 1 = 0$

단계 2.3.2.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$3 x = - 1$

단계 2.3.2.2.2

$3 x = - 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.2.1

$3 x = - 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

단계 2.3.2.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

단계 2.3.2.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{3}$

단계 2.3.2.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1}{3}$

단계 2.4

${(x - 1)}^{3}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

${(x - 1)}^{3}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 1)}^{3} = 0$

단계 2.4.2

${(x - 1)}^{3} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.4.2.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.5

최종 해는 ${(3 x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$ 이 참이 되게 하는 모든 값입니다. 근의 중복도는 근이 나타나는 횟수입니다.

$x = - \frac{1}{3}$ ( $2$ 의 중복도)

$x = 1$ ( $3$ 의 중복도)

$x = - \frac{1}{3}$ ( $2$ 의 중복도)

$x = 1$ ( $3$ 의 중복도)

단계 3