기초 미적분 예제

$f (x) = 7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$

단계 1

$7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

유리근 정리르 이용하여 $7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 7$

단계 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 5, \pm 0.\overline{714285}$

단계 2.1.3

$- 0.\overline{714285}$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 0.\overline{714285}$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$- 0.\overline{714285}$ 을 다항식에 대입합니다.

$7 {(- 0.\overline{714285})}^{3} + 12 {(- 0.\overline{714285})}^{2} - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

단계 2.1.3.2

$- 0.\overline{714285}$ 를 $3$ 승 합니다.

$7 \cdot - 0.36443148 + 12 {(- 0.\overline{714285})}^{2} - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

단계 2.1.3.3

$7$ 에 $- 0.36443148$ 을 곱합니다.

$- 2.5510204 + 12 {(- 0.\overline{714285})}^{2} - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

단계 2.1.3.4

$- 0.\overline{714285}$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 2.5510204 + 12 \cdot 0.51020408 - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

단계 2.1.3.5

$12$ 에 $0.51020408$ 을 곱합니다.

$- 2.5510204 + 6.12244897 - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

단계 2.1.3.6

$- 2.5510204$ 를 $6.12244897$ 에 더합니다.

$3.\overline{571428} - 2 \cdot - 0.\overline{714285} - 5$

단계 2.1.3.7

$- 2$ 에 $- 0.\overline{714285}$ 을 곱합니다.

$3.\overline{571428} + 1.\overline{428571} - 5$

단계 2.1.3.8

$3.\overline{571428}$ 를 $1.\overline{428571}$ 에 더합니다.

$5 - 5$

단계 2.1.3.9

$5$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$0$

단계 2.1.4

$- 0.\overline{714285}$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $7 x + 5$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5}{7 x + 5}$

단계 2.1.5

$7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$ 을 $7 x + 5$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$7 x$

$5$

$7 x^{3}$

$12 x^{2}$

$2 x$

$5$

단계 2.1.5.2

피제수 $7 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $7 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$

단계 2.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			+	$7 x^{3}$	+	$5 x^{2}$

단계 2.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $7 x^{3} + 5 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$

단계 2.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

단계 2.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$

단계 2.1.5.7

피제수 $7 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $7 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$

단계 2.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$5 x$

단계 2.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $7 x^{2} + 5 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$

단계 2.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$

단계 2.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	+	$x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$

단계 2.1.5.12

피제수 $- 7 x$ 의 고차항을 제수 $7 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$

단계 2.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$
							-	$7 x$	-	$5$

단계 2.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 7 x - 5$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$
							+	$7 x$	+	$5$

단계 2.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$7 x$	-	$5$
							+	$7 x$	+	$5$
										$0$

단계 2.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} + x - 1$

단계 2.1.6

$7 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x - 5$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(7 x + 5) (x^{2} + x - 1) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$7 x + 5 = 0$

$x^{2} + x - 1 = 0$

단계 2.3

$7 x + 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$7 x + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$7 x + 5 = 0$

단계 2.3.2

$7 x + 5 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$7 x = - 5$

단계 2.3.2.2

$7 x = - 5$ 의 각 항을 $7$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

$7 x = - 5$ 의 각 항을 $7$ 로 나눕니다.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 5}{7}$

단계 2.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.2.1

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 5}{7}$

단계 2.3.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 5}{7}$

단계 2.3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{5}{7}$

단계 2.4

$x^{2} + x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x^{2} + x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + x - 1 = 0$

단계 2.4.2

$x^{2} + x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2.4.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 1$ , $c = - 1$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.3.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.1.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

단계 2.4.2.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.4.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.4.1.2.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.4.1.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

단계 2.4.2.4.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

단계 2.4.2.4.4

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{5}}{2}$

단계 2.4.2.4.5

$\sqrt{5}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

단계 2.4.2.4.6

$- 1 (1) - 1 (- \sqrt{5})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{5})}{2}$

단계 2.4.2.4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

단계 2.4.2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.5.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.5.1.2.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.5.1.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

단계 2.4.2.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

단계 2.4.2.5.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$

단계 2.4.2.5.4

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{5}}{2}$

단계 2.4.2.5.5

$- \sqrt{5}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{5})}{2}$

단계 2.4.2.5.6

$- 1 (1) - (\sqrt{5})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{5})}{2}$

단계 2.4.2.5.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

단계 2.4.2.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

단계 2.5

최종 해는 $(7 x + 5) (x^{2} + x - 1) = 0$ 이 참이 되게 하는 모든 값입니다. 근의 중복도는 근이 나타나는 횟수입니다.

$x = - \frac{5}{7}$ ( $1$ 의 중복도)

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ ( $1$ 의 중복도)

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ( $1$ 의 중복도)

$x = - \frac{5}{7}$ ( $1$ 의 중복도)

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ ( $1$ 의 중복도)

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ( $1$ 의 중복도)

단계 3