기초 미적분 예제

$p (x) = 3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8$

단계 1

$3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8 = 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

항을 다시 묶습니다.

$7 x^{3} - 28 x + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

단계 2.1.2

$7 x^{3} - 28 x$ 에서 $7 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$7 x^{3}$ 에서 $7 x$ 를 인수분해합니다.

$7 x (x^{2}) - 28 x + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

단계 2.1.2.2

$- 28 x$ 에서 $7 x$ 를 인수분해합니다.

$7 x (x^{2}) + 7 x (- 4) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

단계 2.1.2.3

$7 x (x^{2}) + 7 x (- 4)$ 에서 $7 x$ 를 인수분해합니다.

$7 x (x^{2} - 4) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

단계 2.1.3

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$7 x (x^{2} - 2^{2}) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

단계 2.1.4

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$7 x ((x + 2) (x - 2)) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

단계 2.1.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

단계 2.1.5

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 {(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} - 8 = 0$

단계 2.1.6

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} - 10 u - 8 = 0$

단계 2.1.7

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.7.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ 이고 합이 $b = - 10$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.7.1.1

$- 10 u$ 에서 $- 10$ 를 인수분해합니다.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} - 10 u - 8 = 0$

단계 2.1.7.1.2

$- 10$ 를 $2$ + $- 12$ 로 다시 씁니다.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + (2 - 12) u - 8 = 0$

단계 2.1.7.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + 2 u - 12 u - 8 = 0$

단계 2.1.7.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.7.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + 2 u - 12 u - 8 = 0$

단계 2.1.7.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$7 x (x + 2) (x - 2) + u (3 u + 2) - 4 (3 u + 2) = 0$

단계 2.1.7.3

최대공약수 $3 u + 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 u + 2) (u - 4) = 0$

단계 2.1.8

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 4) = 0$

단계 2.1.9

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

단계 2.1.10

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.10.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

단계 2.1.10.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

단계 2.1.11

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2)$ 에서 $(x + 2) (x - 2)$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.11.1

$7 x (x + 2) (x - 2)$ 에서 $(x + 2) (x - 2)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 2) (x - 2) (7 x) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

단계 2.1.11.2

$(3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2)$ 에서 $(x + 2) (x - 2)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 2) (x - 2) (7 x) + (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + 2) = 0$

단계 2.1.11.3

$(x + 2) (x - 2) (7 x) + (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + 2)$ 에서 $(x + 2) (x - 2)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 2) (x - 2) (7 x + 3 x^{2} + 2) = 0$

단계 2.1.12

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$(x + 2) (x - 2) (7 u + 3 u^{2} + 2) = 0$

단계 2.1.13

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.13.1

항을 다시 정렬합니다.

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 7 u + 2) = 0$

단계 2.1.13.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ 이고 합이 $b = 7$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.13.2.1

$7 u$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 7 (u) + 2) = 0$

단계 2.1.13.2.2

$7$ 를 $1$ + $6$ 로 다시 씁니다.

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + (1 + 6) u + 2) = 0$

단계 2.1.13.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 1 u + 6 u + 2) = 0$

단계 2.1.13.2.4

$u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + u + 6 u + 2) = 0$

단계 2.1.13.3

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.13.3.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x + 2) (x - 2) ((3 u^{2} + u) + 6 u + 2) = 0$

단계 2.1.13.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x + 2) (x - 2) (u (3 u + 1) + 2 (3 u + 1)) = 0$

단계 2.1.13.4

최대공약수 $3 u + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x + 2) (x - 2) ((3 u + 1) (u + 2)) = 0$

단계 2.1.14

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.14.1

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$(x + 2) (x - 2) ((3 x + 1) (x + 2)) = 0$

단계 2.1.14.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 2) (x - 2) (3 x + 1) (x + 2) = 0$

단계 2.1.15

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.15.1

$x + 2$ 를 $1$ 승 합니다.

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) (3 x + 1) = 0$

단계 2.1.15.2

$x + 2$ 를 $1$ 승 합니다.

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) (3 x + 1) = 0$

단계 2.1.15.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

${(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2) (3 x + 1) = 0$

단계 2.1.15.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

${(x + 2)}^{2} (x - 2) (3 x + 1) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

$3 x + 1 = 0$

단계 2.3

${(x + 2)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

${(x + 2)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x + 2)}^{2} = 0$

단계 2.3.2

${(x + 2)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 2.3.2.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 2.4

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 2.5

$3 x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$3 x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 x + 1 = 0$

단계 2.5.2

$3 x + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$3 x = - 1$

단계 2.5.2.2

$3 x = - 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.1

$3 x = - 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

단계 2.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

단계 2.5.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{3}$

단계 2.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1}{3}$

단계 2.6

최종 해는 ${(x + 2)}^{2} (x - 2) (3 x + 1) = 0$ 이 참이 되게 하는 모든 값입니다. 근의 중복도는 근이 나타나는 횟수입니다.

$x = - 2$ ( $2$ 의 중복도)

$x = 2$ ( $1$ 의 중복도)

$x = - \frac{1}{3}$ ( $1$ 의 중복도)

$x = - 2$ ( $2$ 의 중복도)

$x = 2$ ( $1$ 의 중복도)

$x = - \frac{1}{3}$ ( $1$ 의 중복도)

단계 3