기초 미적분 예제

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x + 30$

단계 1

유리근 정리르 이용하여 $2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x + 30$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 30, \pm 15, \pm 2, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 10, \pm 5, \pm 2.5, \pm 6$

단계 1.3

$2$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $2$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 1.3.1

$2$ 을 다항식에 대입합니다.

$2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 17 \cdot 2 + 30$

단계 1.3.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 \cdot 8 - 3 \cdot 2^{2} - 17 \cdot 2 + 30$

단계 1.3.3

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$16 - 3 \cdot 2^{2} - 17 \cdot 2 + 30$

단계 1.3.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$16 - 3 \cdot 4 - 17 \cdot 2 + 30$

단계 1.3.5

$- 3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 - 12 - 17 \cdot 2 + 30$

단계 1.3.6

$16$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$4 - 17 \cdot 2 + 30$

단계 1.3.7

$- 17$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 - 34 + 30$

단계 1.3.8

$4$ 에서 $34$ 을 뺍니다.

$- 30 + 30$

단계 1.3.9

$- 30$ 를 $30$ 에 더합니다.

$0$

단계 1.4

$2$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x + 30}{x - 2}$

단계 1.5

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x + 30$ 을 $x - 2$ 로 나눕니다.

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단계 1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$30$

단계 1.5.2

피제수 $2 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$

단계 1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

단계 1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{3} - 4 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

단계 1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$

단계 1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$

단계 1.5.7

피제수 $x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$

단계 1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

단계 1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{2} - 2 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

단계 1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$

단계 1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$30$

단계 1.5.12

피제수 $- 15 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$30$

단계 1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							-	$15 x$	+	$30$

단계 1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 15 x + 30$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$

단계 1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$17 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$
										$0$

단계 1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$2 x^{2} + x - 15$

단계 1.6

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x + 30$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x - 2) (2 x^{2} + x - 15)$

단계 2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ 이고 합이 $b = 1$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 2.1.1.1

$1$ 을 곱합니다.

$(x - 2) (2 x^{2} + 1 x - 15)$

단계 2.1.1.2

$1$ 를 $- 5$ + $6$ 로 다시 씁니다.

$(x - 2) (2 x^{2} + (- 5 + 6) x - 15)$

단계 2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(x - 2) (2 x^{2} - 5 x + 6 x - 15)$

단계 2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(x - 2) ((2 x^{2} - 5 x) + 6 x - 15)$

단계 2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(x - 2) (x (2 x - 5) + 3 (2 x - 5))$

단계 2.1.3

최대공약수 $2 x - 5$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(x - 2) ((2 x - 5) (x + 3))$

단계 2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x - 2) (2 x - 5) (x + 3)$