기초 미적분 예제

$2 x^{3} + 15 x^{2} + 24 x - 16$

단계 1

유리근 정리르 이용하여 $2 x^{3} + 15 x^{2} + 24 x - 16$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 16, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

단계 1.3

$0.5$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $0.5$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 1.3.1

$0.5$ 을 다항식에 대입합니다.

$2 \cdot {0.5}^{3} + 15 \cdot {0.5}^{2} + 24 \cdot 0.5 - 16$

단계 1.3.2

$0.5$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 \cdot 0.125 + 15 \cdot {0.5}^{2} + 24 \cdot 0.5 - 16$

단계 1.3.3

$2$ 에 $0.125$ 을 곱합니다.

$0.25 + 15 \cdot {0.5}^{2} + 24 \cdot 0.5 - 16$

단계 1.3.4

$0.5$ 를 $2$ 승 합니다.

$0.25 + 15 \cdot 0.25 + 24 \cdot 0.5 - 16$

단계 1.3.5

$15$ 에 $0.25$ 을 곱합니다.

$0.25 + 3.75 + 24 \cdot 0.5 - 16$

단계 1.3.6

$0.25$ 를 $3.75$ 에 더합니다.

$4 + 24 \cdot 0.5 - 16$

단계 1.3.7

$24$ 에 $0.5$ 을 곱합니다.

$4 + 12 - 16$

단계 1.3.8

$4$ 를 $12$ 에 더합니다.

$16 - 16$

단계 1.3.9

$16$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$0$

단계 1.4

$0.5$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $2 x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{3} + 15 x^{2} + 24 x - 16}{2 x - 1}$

단계 1.5

$2 x^{3} + 15 x^{2} + 24 x - 16$ 을 $2 x - 1$ 로 나눕니다.

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단계 1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$15 x^{2}$

$24 x$

$16$

단계 1.5.2

피제수 $2 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$

단계 1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

단계 1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{3} - x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

단계 1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$

단계 1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$

단계 1.5.7

피제수 $16 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$

단계 1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$16 x^{2}$	-	$8 x$

단계 1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $16 x^{2} - 8 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$8 x$

단계 1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$32 x$

단계 1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$32 x$	-	$16$

단계 1.5.12

피제수 $32 x$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$32 x$	-	$16$

단계 1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$32 x$	-	$16$
							+	$32 x$	-	$16$

단계 1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $32 x - 16$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$32 x$	-	$16$
							-	$32 x$	+	$16$

단계 1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$16 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$32 x$	-	$16$
							-	$32 x$	+	$16$
										$0$

단계 1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} + 8 x + 16$

단계 1.6

$2 x^{3} + 15 x^{2} + 24 x - 16$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(2 x - 1) (x^{2} + 8 x + 16)$

단계 2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 2.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(2 x - 1) (x^{2} + 8 x + 4^{2})$

단계 2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

단계 2.3

다항식을 다시 씁니다.

$(2 x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})$

단계 2.4

$a = x$ 이고 $b = 4$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(2 x - 1) {(x + 4)}^{2}$