기초 미적분 예제

$x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 4$

단계 1

항을 다시 묶습니다.

$x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 4$

단계 2

$x^{4} - 2 x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$x^{4}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} x - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 4$

단계 2.2

$- 2 x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 2 - 3 x^{2} + 8 x - 4$

단계 2.3

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 2$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} + 8 x - 4$

단계 3

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 3.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 3 \cdot - 4 = 12$ 이고 합이 $b = 8$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 3.1.1

$8 x$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} + 8 (x) - 4$

단계 3.1.2

$8$ 를 $2$ + $6$ 로 다시 씁니다.

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} + (2 + 6) x - 4$

단계 3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} + 2 x + 6 x - 4$

단계 3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 3.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$x^{3} (x - 2) + (- 3 x^{2} + 2 x) + 6 x - 4$

단계 3.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x^{3} (x - 2) + x (- 3 x + 2) - 2 (- 3 x + 2)$

단계 3.3

최대공약수 $- 3 x + 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$x^{3} (x - 2) + (- 3 x + 2) (x - 2)$

단계 4

$x^{3} (x - 2) + (- 3 x + 2) (x - 2)$ 에서 $x - 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1

$x^{3} (x - 2)$ 에서 $x - 2$ 를 인수분해합니다.

$(x - 2) x^{3} + (- 3 x + 2) (x - 2)$

단계 4.2

$(- 3 x + 2) (x - 2)$ 에서 $x - 2$ 를 인수분해합니다.

$(x - 2) x^{3} + (x - 2) (- 3 x + 2)$

단계 4.3

$(x - 2) x^{3} + (x - 2) (- 3 x + 2)$ 에서 $x - 2$ 를 인수분해합니다.

$(x - 2) (x^{3} - 3 x + 2)$

단계 5

인수분해합니다.

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단계 5.1

인수분해된 형태로 $x^{3} - 3 x + 2$ 를 다시 씁니다.

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단계 5.1.1

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} - 3 x + 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.1.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

단계 5.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 2$

단계 5.1.1.3

$1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $1$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 5.1.1.3.1

$1$ 을 다항식에 대입합니다.

$1^{3} - 3 \cdot 1 + 2$

단계 5.1.1.3.2

$1$ 를 $3$ 승 합니다.

$1 - 3 \cdot 1 + 2$

단계 5.1.1.3.3

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 - 3 + 2$

단계 5.1.1.3.4

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- 2 + 2$

단계 5.1.1.3.5

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$0$

단계 5.1.1.4

$1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 3 x + 2}{x - 1}$

단계 5.1.1.5

$x^{3} - 3 x + 2$ 을 $x - 1$ 로 나눕니다.

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단계 5.1.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

단계 5.1.1.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$

단계 5.1.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

단계 5.1.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

단계 5.1.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

단계 5.1.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

단계 5.1.1.5.7

피제수 $x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

단계 5.1.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

단계 5.1.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{2} - x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

단계 5.1.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

단계 5.1.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

단계 5.1.1.5.12

피제수 $- 2 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

단계 5.1.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

단계 5.1.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 2 x + 2$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

단계 5.1.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$
										$0$

단계 5.1.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} + x - 2$

단계 5.1.1.6

$x^{3} - 3 x + 2$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x - 2) ((x - 1) (x^{2} + x - 2))$

단계 5.1.2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + x - 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.1.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + x - 2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 2$ 이고 합은 $1$ 입니다.

$- 1, 2$

단계 5.1.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 2) ((x - 1) ((x - 1) (x + 2)))$

단계 5.1.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x - 2) ((x - 1) (x - 1) (x + 2))$

단계 5.1.3

유사한 인수끼리 묶습니다.

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단계 5.1.3.1

$x - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$(x - 2) ({(x - 1)}^{1} (x - 1) (x + 2))$

단계 5.1.3.2

$x - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$(x - 2) ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (x + 2))$

단계 5.1.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(x - 2) ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 2))$

단계 5.1.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(x - 2) ({(x - 1)}^{2} (x + 2))$

단계 5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x - 2) {(x - 1)}^{2} (x + 2)$