기초 미적분 예제

$x^{5} + 3 x^{4} - 25 x^{3} - 79 x^{2} + 100$

단계 1

항을 다시 묶습니다.

$x^{5} - 25 x^{3} + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

단계 2

$x^{5} - 25 x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$x^{5}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} x^{2} - 25 x^{3} + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

단계 2.2

$- 25 x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25 + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

단계 2.3

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} (x^{2} - 25) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

단계 3

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{3} (x^{2} - 5^{2}) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

단계 4

인수분해합니다.

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단계 4.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 5$ 입니다.

$x^{3} ((x + 5) (x - 5)) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

단계 4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

단계 5

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 {(x^{2})}^{2} - 79 x^{2} + 100$

단계 6

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 79 u + 100$

단계 7

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 7.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot 100 = 300$ 이고 합이 $b = - 79$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 7.1.1

$- 79 u$ 에서 $- 79$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 79 (u) + 100$

단계 7.1.2

$- 79$ 를 $- 4$ + $- 75$ 로 다시 씁니다.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} + (- 4 - 75) u + 100$

단계 7.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 4 u - 75 u + 100$

단계 7.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 7.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 u^{2} - 4 u) - 75 u + 100$

단계 7.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + u (3 u - 4) - 25 (3 u - 4)$

단계 7.3

최대공약수 $3 u - 4$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 u - 4) (u - 25)$

단계 8

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x^{2} - 25)$

단계 9

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x^{2} - 5^{2})$

단계 10

인수분해합니다.

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단계 10.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 5$ 입니다.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) ((x + 5) (x - 5))$

단계 10.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$

단계 11

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$ 에서 $(x + 5) (x - 5)$ 를 인수분해합니다.

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단계 11.1

$x^{3} (x + 5) (x - 5)$ 에서 $(x + 5) (x - 5)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$

단계 11.2

$(3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$ 에서 $(x + 5) (x - 5)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (x + 5) (x - 5) (3 x^{2} - 4)$

단계 11.3

$(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (x + 5) (x - 5) (3 x^{2} - 4)$ 에서 $(x + 5) (x - 5)$ 를 인수분해합니다.

$(x + 5) (x - 5) (x^{3} + 3 x^{2} - 4)$

단계 12

인수분해합니다.

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단계 12.1

인수분해된 형태로 $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ 를 다시 씁니다.

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단계 12.1.1

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ 를 인수분해합니다.

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단계 12.1.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

단계 12.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

단계 12.1.1.3

$1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $1$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 12.1.1.3.1

$1$ 을 다항식에 대입합니다.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 4$

단계 12.1.1.3.2

$1$ 를 $3$ 승 합니다.

$1 + 3 \cdot 1^{2} - 4$

단계 12.1.1.3.3

$1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 + 3 \cdot 1 - 4$

단계 12.1.1.3.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 3 - 4$

단계 12.1.1.3.5

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$4 - 4$

단계 12.1.1.3.6

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$0$

단계 12.1.1.4

$1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4}{x - 1}$

단계 12.1.1.5

$x^{3} + 3 x^{2} - 4$ 을 $x - 1$ 로 나눕니다.

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단계 12.1.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$4$

단계 12.1.1.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$

단계 12.1.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

단계 12.1.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

단계 12.1.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

단계 12.1.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

단계 12.1.1.5.7

피제수 $4 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

단계 12.1.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

단계 12.1.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $4 x^{2} - 4 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

단계 12.1.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

단계 12.1.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$

단계 12.1.1.5.12

피제수 $4 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$

단계 12.1.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							+	$4 x$	-	$4$

단계 12.1.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $4 x - 4$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$

단계 12.1.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$
										$0$

단계 12.1.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} + 4 x + 4$

단계 12.1.1.6

$x^{3} + 3 x^{2} - 4$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 4 x + 4))$

단계 12.1.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 12.1.2.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 4 x + 2^{2}))$

단계 12.1.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

단계 12.1.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}))$

단계 12.1.2.4

$a = x$ 이고 $b = 2$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) {(x + 2)}^{2})$

단계 12.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 5) (x - 5) (x - 1) {(x + 2)}^{2}$