기초 미적분 예제

$x^{2} (x - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

단계 1

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{2} x + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

단계 2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

단계 2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

단계 2.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(x^{3} + x^{2} \cdot - 2) (x + 2) + 3 x + 6$

단계 3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$(x^{3} - 2 x^{2}) (x + 2) + 3 x + 6$

단계 4

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{3} - 2 x^{2}) (x + 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} (x + 2) - 2 x^{2} (x + 2) + 3 x + 6$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} (x + 2) + 3 x + 6$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

단계 5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

$x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

단계 5.1.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{3 + 1} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

단계 5.1.1.2

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x^{4} + x^{3} \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

단계 5.1.2

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

단계 5.1.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

단계 5.1.3.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

단계 5.1.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

단계 5.1.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 2 + 3 x + 6$

단계 5.1.4

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

단계 5.2

$2 x^{3}$ 에서 $2 x^{3}$ 을 뺍니다.

$x^{4} + 0 - 4 x^{2} + 3 x + 6$

단계 5.3

$x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{4} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

단계 6

인수분해된 형태로 $x^{4} - 4 x^{2} + 3 x + 6$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x^{4} - 4 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$x^{4}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} x^{2} - 4 x^{2} + 3 x + 6$

단계 6.1.2

$- 4 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 + 3 x + 6$

단계 6.1.3

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} (x^{2} - 4) + 3 x + 6$

단계 6.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} (x^{2} - 2^{2}) + 3 x + 6$

단계 6.3

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$x^{2} ((x + 2) (x - 2)) + 3 x + 6$

단계 6.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 x + 6$

단계 6.4

$3 x + 6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x) + 6$

단계 6.4.2

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 x + 3 \cdot 2$

단계 6.4.3

$3 x + 3 \cdot 2$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2)$

단계 6.5

$x^{2} (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2)$ 에서 $x + 2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$x^{2} (x + 2) (x - 2)$ 에서 $x + 2$ 를 인수분해합니다.

$(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + 3 (x + 2)$

단계 6.5.2

$3 (x + 2)$ 에서 $x + 2$ 를 인수분해합니다.

$(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + (x + 2) \cdot 3$

단계 6.5.3

$(x + 2) (x^{2} (x - 2)) + (x + 2) \cdot 3$ 에서 $x + 2$ 를 인수분해합니다.

$(x + 2) (x^{2} (x - 2) + 3)$

단계 6.6

분배 법칙을 적용합니다.

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

단계 6.7

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.7.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(x + 2) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

단계 6.7.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(x + 2) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

단계 6.7.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(x + 2) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 3)$

단계 6.8

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 3)$

단계 6.9

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.9.1

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.9.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

단계 6.9.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 3$

단계 6.9.1.3

$- 1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $- 1$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.9.1.3.1

$- 1$ 을 다항식에 대입합니다.

${(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

단계 6.9.1.3.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

단계 6.9.1.3.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 1 - 2 \cdot 1 + 3$

단계 6.9.1.3.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 - 2 + 3$

단계 6.9.1.3.5

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 3 + 3$

단계 6.9.1.3.6

$- 3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$0$

단계 6.9.1.4

$- 1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x + 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 3}{x + 1}$

단계 6.9.1.5

$x^{3} - 2 x^{2} + 3$ 을 $x + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.9.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

단계 6.9.1.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$

단계 6.9.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

단계 6.9.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} + x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

단계 6.9.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

단계 6.9.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

단계 6.9.1.5.7

피제수 $- 3 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

단계 6.9.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

단계 6.9.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 3 x^{2} - 3 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

단계 6.9.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$

단계 6.9.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$

단계 6.9.1.5.12

피제수 $3 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$

단계 6.9.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							+	$3 x$	+	$3$

단계 6.9.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $3 x + 3$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	-	$3$

단계 6.9.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	-	$3$
										$0$

단계 6.9.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} - 3 x + 3$

단계 6.9.1.6

$x^{3} - 2 x^{2} + 3$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x + 2) ((x + 1) (x^{2} - 3 x + 3))$

단계 6.9.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x + 2) (x + 1) (x^{2} - 3 x + 3)$