기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2} - x - 20}{x - 7}$

단계 1

식 $\frac{x^{2} - x - 20}{x - 7}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = 7$

단계 2

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 3

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 2$

$m = 1$

단계 4

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 5

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - x - 20$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 20$ 이고 합은 $- 1$ 입니다.

$- 5, 4$

단계 5.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(x - 5) (x + 4)}{x - 7}$

단계 5.2

$(x - 5) (x + 4)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (x + 4) - 5 (x + 4)}{x - 7}$

단계 5.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 - 5 (x + 4)}{x - 7}$

단계 5.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 - 5 x - 5 \cdot 4}{x - 7}$

단계 5.2.4

$x$ 와 $4$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x \cdot x + 4 x - 5 x - 5 \cdot 4}{x - 7}$

단계 5.2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cdot x + 4 x - 5 x - 5 \cdot 4}{x - 7}$

단계 5.2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cdot x + 4 x - 5 x - 5 \cdot 4}{x - 7}$

단계 5.2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{1 + 1} + 4 x - 5 x - 5 \cdot 4}{x - 7}$

단계 5.2.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 5 x - 5 \cdot 4}{x - 7}$

단계 5.2.9

$- 5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 5 x - 20}{x - 7}$

단계 5.2.10

$4 x$ 에서 $5 x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - x - 20}{x - 7}$

단계 5.3

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$7$

$x^{2}$

$x$

$20$

단계 5.4

피제수 $x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x$
	$x$	-	$7$		$x^{2}$	-	$x$	-	$20$

단계 5.5

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x$
$x$	-	$7$		$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
			+	$x^{2}$	-	$7 x$

단계 5.6

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{2} - 7 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x$
$x$	-	$7$		$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
			-	$x^{2}$	+	$7 x$

단계 5.7

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x$
$x$	-	$7$		$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
			-	$x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x$

단계 5.8

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x$
$x$	-	$7$		$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
			-	$x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x$	-	$20$

단계 5.9

피제수 $6 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x$	+	$6$
$x$	-	$7$		$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
			-	$x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x$	-	$20$

단계 5.10

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x$	+	$6$
$x$	-	$7$		$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
			-	$x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x$	-	$20$
					+	$6 x$	-	$42$

단계 5.11

식을 피제수에서 빼야 하므로 $6 x - 42$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x$	+	$6$
$x$	-	$7$		$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
			-	$x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x$	-	$20$
					-	$6 x$	+	$42$

단계 5.12

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x$	+	$6$
$x$	-	$7$		$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
			-	$x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x$	-	$20$
					-	$6 x$	+	$42$
							+	$22$

단계 5.13

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$x + 6 + \frac{22}{x - 7}$

단계 5.14

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = x + 6$

단계 6

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = 7$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = x + 6$

단계 7