기초 미적분 예제

$y = a {(x - h)}^{2} + k \cdot 4 x^{2} + 8 x - 4$

단계 1

$a {(x - h)}^{2} + k \cdot (4 x^{2}) + 8 x - 4 = y$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$a {(x - h)}^{2} + k \cdot (4 x^{2}) + 8 x - 4 = y$

단계 2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$a {(x - h)}^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - 4 = y$

단계 3

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$a {(x - h)}^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

단계 4

${(x - h)}^{2}$ 을 $(x - h) (x - h)$ 로 바꿔 씁니다.

$a ((x - h) (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

단계 5

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - h) (x - h)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$a (x (x - h) - h (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$a (x \cdot x + x (- h) - h (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

단계 5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$a (x \cdot x + x (- h) - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

단계 6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$a (x^{2} + x (- h) - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

단계 6.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$a (x^{2} - x h - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

단계 6.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h \cdot h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

단계 6.1.4

지수를 더하여 $h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.4.1

$h$ 를 옮깁니다.

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 (h \cdot h))) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

단계 6.1.4.2

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h^{2})) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

단계 6.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$a (x^{2} - x h - h x + 1 h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

단계 6.1.6

$h^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a (x^{2} - x h - h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

단계 6.2

$- x h$ 에서 $h x$ 을 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$a (x^{2} - h x - h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

단계 6.2.2

$- h x$ 에서 $h x$ 을 뺍니다.

$a (x^{2} - 2 h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

단계 7

분배 법칙을 적용합니다.

$a x^{2} + a (- 2 h x) + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

단계 8

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

단계 9

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - y = 4$

단계 9.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - y - 4 = 0$

단계 10

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 11

이차함수의 근의 공식에 $a = a + 4 k$ , $b = - 2 a h + 8$ , $c = a h^{2} - y - 4$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- (- 2 a h + 8) \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{- (- 2 a h) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 (a h) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.3

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 (a h) - 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.4

괄호를 표시합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{{(- 2 (a h) + 8)}^{2} - 4 \cdot ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.5

$u = (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $(a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.1

${(- 2 a h + 8)}^{2}$ 을 $(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.5.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h + 8) + 8 (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.5.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.5.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.5.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.3.1.1

지수를 더하여 $a$ 에 $a$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.3.1.1.1

$a$ 를 옮깁니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 (a \cdot a) h (- 2 h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.5.3.1.1.2

$a$ 에 $a$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} h (- 2 h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.5.3.1.2

지수를 더하여 $h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.3.1.2.1

$h$ 를 옮깁니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} (h \cdot h) \cdot - 2 - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.5.3.1.2.2

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} h^{2} \cdot - 2 - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.5.3.1.3

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.5.3.1.4

$8$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.5.3.1.5

$- 2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h - 16 (a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.5.3.1.6

$8$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h - 16 a h + 64 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.5.3.2

$- 16 a h$ 에서 $16 a h$ 을 뺍니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.6

$4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 u$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.6.1

$4 a^{2} h^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) - 32 a h + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.6.2

$- 32 a h$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.6.3

$64$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 4 (16) - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.6.4

$- 4 u$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.6.5

$4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.6.6

$4 (a^{2} h^{2} - 8 a h) + 4 (16)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.6.7

$4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16) + 4 (- u)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - u)}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.7

$u$ 를 모두 $(a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)))}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.8.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.8.1.1

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(a + 4 k) (a h^{2} - y - 4)$ 를 전개합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a (a h^{2}) + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.8.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.8.1.2.1

지수를 더하여 $a$ 에 $a$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.8.1.2.1.1

$a$ 를 옮깁니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a \cdot a h^{2} + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.8.1.2.1.2

$a$ 에 $a$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.8.1.2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.8.1.2.3

$a$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 \cdot a + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.8.1.2.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} + 4 \cdot (- 1 k y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.8.1.2.5

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} - 4 k y + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.8.1.2.6

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} - 4 k y - 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.8.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2}) - (- a y) - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.8.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.8.1.4.1

$- (- a y)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.8.1.4.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + 1 (a y) - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.8.1.4.1.2

$a$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.8.1.4.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.8.1.4.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.8.1.4.4

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) + 4 (k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.8.1.4.5

$- 16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) + 4 (k y) + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.8.1.5

괄호를 제거합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.8.2

$a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.8.2.1

$a^{2} h^{2}$ 에서 $a^{2} h^{2}$ 을 뺍니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (- 8 a h + 16 + 0 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.8.2.2

$- 8 a h + 16$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.9

$4 (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)$ 을 $2^{2} (- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.9.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{2^{2} (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.9.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{2^{2} (- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.10

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm 2 \sqrt{- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{2 (a + 4 k)}$

단계 12.11

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm 2 \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{2 (a + 4 k)}$

단계 13

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = \frac{a h - 4 + \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{a + 4 k}$

$x = \frac{a h - 4 - \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{a + 4 k}$