기초 미적분 예제

$y = \frac{1}{x} + \frac{5}{x - 3}$

단계 1

$\frac{1}{x} + \frac{5}{x - 3} = y$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x} + \frac{5}{x - 3} = y$

단계 2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

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단계 2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$x, x - 3, 1$

단계 2.2

Since $x, x - 3, 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

$x, x - 3, 1$ 의 최소공배수를 구하는 단계:

1. 숫자 부분 $1, 1, 1$ 의 최소공배수를 구합니다.

2. 변수 부분 $x^{1}$ 의 최소공배수를 구합니다.

3. 혼합 변수 부분 $x - 3$ 의 최소공배수를 구합니다.

4. 각각의 최소공배수를 함께 곱합니다.

단계 2.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 2.4

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 2.5

$1, 1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$1$

단계 2.6

$x^{1}$ 의 인수는 $x$ 자신입니다.

$x^{1} = x$

$x$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.7

$x^{1}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$x$

단계 2.8

$x - 3$ 의 인수는 $x - 3$ 자신입니다.

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.9

$x - 3$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 인수의 최대 개수만큼 모든 인수를 곱한 결과입니다.

$x - 3$

단계 2.10

임의의 숫자 $LCM$ 의 최소공배수는 해당 숫자가 인수인 가장 작은 숫자입니다.

$x (x - 3)$

단계 3

$\frac{1}{x} + \frac{5}{x - 3} = y$ 의 각 항에 $x (x - 3)$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{x} + \frac{5}{x - 3} = y$ 의 각 항에 $x (x - 3)$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x} (x (x - 3)) + \frac{5}{x - 3} (x (x - 3)) = y (x (x - 3))$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x} (x (x - 3)) + \frac{5}{x - 3} (x (x - 3)) = y (x (x - 3))$

단계 3.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x - 3 + \frac{5}{x - 3} (x (x - 3)) = y (x (x - 3))$

단계 3.2.1.2

$x - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1.2.1

$x (x - 3)$ 에서 $x - 3$ 를 인수분해합니다.

$x - 3 + \frac{5}{x - 3} ((x - 3) x) = y (x (x - 3))$

단계 3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x - 3 + \frac{5}{x - 3} ((x - 3) x) = y (x (x - 3))$

단계 3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x - 3 + 5 x = y (x (x - 3))$

단계 3.2.2

$x$ 를 $5 x$ 에 더합니다.

$6 x - 3 = y (x (x - 3))$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$6 x - 3 = y (x \cdot x + x \cdot - 3)$

단계 3.3.2

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$6 x - 3 = y (x^{2} + x \cdot - 3)$

단계 3.3.2.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$6 x - 3 = y (x^{2} - 3 \cdot x)$

단계 3.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$6 x - 3 = y x^{2} + y (- 3 x)$

단계 3.3.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$6 x - 3 = y x^{2} - 3 y x$

단계 4

식을 풉니다.

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단계 4.1

$x$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$y x^{2} - 3 y x = 6 x - 3$

단계 4.2

방정식의 양변에서 $6 x$ 를 뺍니다.

$y x^{2} - 3 y x - 6 x = - 3$

단계 4.3

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$y x^{2} - 3 y x - 6 x + 3 = 0$

단계 4.4

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 4.5

이차함수의 근의 공식에 $a = y$ , $b = - 3 y - 6$ , $c = 3$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- (- 3 y - 6) \pm \sqrt{{(- 3 y - 6)}^{2} - 4 \cdot (y \cdot 3)}}{2 y}$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{- (- 3 y) + 6 \pm \sqrt{{(- 3 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

단계 4.6.2

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{{(- 3 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

단계 4.6.3

$- 1$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{{(- 3 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

단계 4.6.4

${(- 3 y - 6)}^{2}$ 을 $(- 3 y - 6) (- 3 y - 6)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{(- 3 y - 6) (- 3 y - 6) - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

단계 4.6.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 3 y - 6) (- 3 y - 6)$ 를 전개합니다.

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단계 4.6.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{- 3 y (- 3 y - 6) - 6 (- 3 y - 6) - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

단계 4.6.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{- 3 y (- 3 y) - 3 y \cdot - 6 - 6 (- 3 y - 6) - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

단계 4.6.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{- 3 y (- 3 y) - 3 y \cdot - 6 - 6 (- 3 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

단계 4.6.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.6.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.6.6.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 y \cdot y) - 3 y \cdot - 6 - 6 (- 3 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

단계 4.6.6.1.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 4.6.6.1.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 (y \cdot y)) - 3 y \cdot - 6 - 6 (- 3 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

단계 4.6.6.1.2.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 y^{2}) - 3 y \cdot - 6 - 6 (- 3 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

단계 4.6.6.1.3

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{9 y^{2} - 3 y \cdot - 6 - 6 (- 3 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

단계 4.6.6.1.4

$- 6$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{9 y^{2} + 18 y - 6 (- 3 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

단계 4.6.6.1.5

$- 3$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{9 y^{2} + 18 y + 18 y - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

단계 4.6.6.1.6

$- 6$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{9 y^{2} + 18 y + 18 y + 36 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

단계 4.6.6.2

$18 y$ 를 $18 y$ 에 더합니다.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{9 y^{2} + 36 y + 36 - 4 \cdot y \cdot 3}}{2 y}$

단계 4.6.7

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{9 y^{2} + 36 y + 36 - 12 y}}{2 y}$

단계 4.6.8

$36 y$ 에서 $12 y$ 을 뺍니다.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{9 y^{2} + 24 y + 36}}{2 y}$

단계 4.6.9

$9 y^{2} + 24 y + 36$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.6.9.1

$9 y^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{3 (3 y^{2}) + 24 y + 36}}{2 y}$

단계 4.6.9.2

$24 y$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{3 (3 y^{2}) + 3 (8 y) + 36}}{2 y}$

단계 4.6.9.3

$36$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{3 (3 y^{2}) + 3 (8 y) + 3 (12)}}{2 y}$

단계 4.6.9.4

$3 (3 y^{2}) + 3 (8 y)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{3 (3 y^{2} + 8 y) + 3 (12)}}{2 y}$

단계 4.6.9.5

$3 (3 y^{2} + 8 y) + 3 (12)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{3 y + 6 \pm \sqrt{3 (3 y^{2} + 8 y + 12)}}{2 y}$

단계 4.7

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = \frac{3 y + 6 + \sqrt{3 (3 y^{2} + 8 y + 12)}}{2 y}$

$x = \frac{3 y + 6 - \sqrt{3 (3 y^{2} + 8 y + 12)}}{2 y}$

$x = \frac{3 y + 6 + \sqrt{3 (3 y^{2} + 8 y + 12)}}{2 y}$

$x = \frac{3 y + 6 - \sqrt{3 (3 y^{2} + 8 y + 12)}}{2 y}$